О дифференциальных подстановках для эволюционных систем уравнений

Для наиболее известных дифференциальных подстановок, связывающих между собой скалярные эволюционные уравнения, множества допускающих их уравнений состоят не из конечного числа уравнений, а образуют семейства, параметризованные произвольной функцией. Аналогичным свойством обладают и некоторые подстановки для эволюционных систем. В настоящей работе получены необходимые и достаточные условия того, что дифференциальная подстановка первого порядка допускается семейством эволюционных систем, зависящих от произвольной функции. Также предъявлены явные формулы для нахождения соответствующего семейства эволюционных систем в случае выполнения указанных условий.
В качестве иллюстрации построено семейство систем, допускающих многокомпонентную подстановку Коула–Хопфа. Показано, что любая линейная система с производными не ниже первого порядка в ее правой части принадлежит этому семейству. В результате получено множество C-интегрируемых систем, включающее в себя системы сколь угодно высокого порядка. Другим рассмотренным в статье примером является многокомпонентный аналог подстановки $v=u_x+\exp(u)$. Показано, что эта многокомпонентная подстановка также допускается семейством эволюционных систем, зависящих от произвольной функции.