Спектральное разложение нормального оператора в действительном гильбертовом пространстве

Рассматриваются неограниченные нормальные операторы, действующие в действительном гильбертовом пространстве. Стандартный подход к решению спектральных задач, связанных с такими операторами, состоит в применении комплексификации — перехода в комплексное пространство. При этом окончательные результаты обычно необходимо декомплексифицировать, т.е. выполнить обратный переход. Однако процесс декомплексификации часто оказывается нетривиальным.
Целью настоящей статьи является перенесение классических результатов спектральной теории на случай нормальных операторов, действующих в действительном гильбертовом пространстве. Приводятся два действительных варианта спектральной теоремы для таких операторов. Построено функциональное исчисление, порожденное действительным спектральным разложением нормального оператора. Приводятся примеры использования полученного функционального исчисления для представления экспоненты от нормального оператора.