О непрерывности и дифференцируемости максимальных значений функций

В статье рассматриваются функции являющиеся максимальными значениями непрерывных функций на семействах компактных подмножеств. Такие функции используются, например, при исследовании геометрического строения различных равновесных поверхностей — минимальных поверхностей, поверхностей постоянной средней кривизны и т.п. Обычно подобные функции строятся как геометрические характеристики исследуемых поверхностей — расстояние от точки поверхности до фиксированной прямой, радиус описанной сферы и т.п. Одним из ключевых моментов этого подхода является обоснование их непрерывности и дифференцируемости. Это позволяет выводить дифференциальные соотношения для рассматриваемых функций. В настоящей работе вопросы непрерывности и дифференцируемости рассматриваются в более общей постановке — для топологических и метрических пространств. В частности, найдены условия на отображение топологических пространств $F : X\to T$, при которых функция вида $\rho(t) = \max_{x\in F^{-1}(t)}g(x)$ является непрерывной. Кроме этого, для такого рода функций получены условия липшицевости и $\delta$-выпуклости в $\mathbb{R}^m$.