О глобальной неустойчивости решений гиперболических уравнений с нелипшицевой нелинейностью

В ограниченной области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, рассматривается гиперболическое уравнение вида
\begin{equation*} \begin{cases} v_{tt} = \Delta_p v+\lambda |v|^{p-2}v-|v|^{\alpha-2}v,& x\in \Omega,\\ v\bigr{|}_{\partial \Omega}=0. \end{cases} \end{equation*}
Предполагается, что $1<\alpha<p<+\infty$, т.е. нелинейность в правой части уравнения является нелипшицевого типа. Такой тип нелинейности, как правило, вызывает трудности в применении стандартных подходов теории нелинейных дифференциальных уравнений. Дополнительная сложность связана с наличием в уравнении $p$-лапласиана $\Delta_p (\cdot):=\text{div}(|\nabla(\cdot)|^{p-2}\nabla(\cdot))$. В первом результате доказывается теорема о существовании, так называемого, основного стационарного состояния уравнения. Доказательство этой теоремы основывается на методе многообразия Нехари. В главном результате работы, показано, что любое основное стационарное состояние рассматриваемого уравнения является неустойчивым глобально по времени. Доказательство основывается на развитии метода исследования устойчивости решений гиперболических уравнений, предложенного Пеином и Саттингером.