Об одной теореме Леонтьева–Левина

В работе исследуются взаимосвязи между различными плотностями положительной последовательности и связанными с ними величинами. Более точно, в работе рассматриваются верхняя плотность, максимальная плотность (введённая Дж. Полиа (G. Polya)), логарифмическая блок-плотность (впервые рассмотренная, по-видимому, Л. А. Рубелем (L. A. Rubel)). В частности, были получены соотношения, дающие связь между максимальной плотностью и величиной, имеющей непосредственное отношение к логарифмической блок-плотности. Результаты этих исследований применяются для обобщения классического утверждения, полученного независимо друг от друга А. Ф. Леонтьевым и Б. Я. Левиным, о полноте в выпуклой области систем экспоненциальных мономов с положительными показателями на случай показателей, не имеющих плотность. Выяснено, что ослаблением условия измеримости последовательности (то есть существования плотности) в контексте упомянутого выше результата о полноте, является равенство верхней и максимальной плотностей. А именно, получено условие, при котором имеет место критерий полноты системы экспоненциальных мономов в выпуклых областях. Следует отметить, что критерий справедлив в достаточно широком классе выпуклых областей, например, имеющих вертикальные или горизонтальные оси симметрии. Решающую роль в решении этого вопроса сыграли результаты исследований Л. А. Рубеля и П. Мальявена (P. Malliavin) о связи роста целой функции экспоненциального типа вдоль мнимой оси и логарифмической блок-плотности последовательности её положительных нулей. Эти результаты были применены ими для выяснения условия полноты системы экспонент в горизонтальной полосе.