Дискретный спектр тонкого $\mathcal{PT}$-симметричного волновода

В тонком многомерном слое рассматривается дифференциальный $\mathcal{PT}$-симметричный оператор второго оператора. Оператор имеет достаточно общий вид, его коэффициенты – произвольные функции, зависящие как от медленных, так и от быстрой переменных. $\mathcal{PT}$-симметричность оператора обеспечивается путем введения краевых условий третьего типа с чисто мнимым коэффициентом. В работе определяется вид предельного оператора, доказывается равномерная резольвентная сходимость возмущённого оператора к предельному и выводятся неулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости. Установлена сходимость спектра возмущённого оператора к спектру предельного. Для возмущённых собственных значений, сходящихся к предельным изолированных собственным значениям конечной кратности, доказана их вещественность и построены полные асимптотические разложения. Также получены полные асимптотические разложения для соответствующих собственных функций.