|
Уфимский математический журнал, 2013, том 5, выпуск 2, страницы 63–81
(Mi ufa199)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях)
Решение спектральных задач для операторов ротора и Стокса
Р. С. Сакс Институт математики c ВЦ УНЦ РАН,
ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия
Аннотация:
В работе явно решаются спектральные задачи для
операторов ротора,
градиента дивергенции и Стокса в шаре $B$ радиуса $R$.
Собственные вектор-функции $\mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}$ ротора, отвечающие
ненулевым собственным значениям
$\pm\lambda_{\kappa}$, выражаются явными формулами, также как и вектор-функции $\mathbf{q}_{\kappa}$, соответствующие нулевому собственному значению:
\[rot \mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}=\pm\lambda_{\kappa}
\mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}, \quad \psi_n(\pm\lambda_{\kappa} R)=0, \quad
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}|_S=0;\quad
rot \mathbf{q}_{\kappa}=0, \quad
\mathbf{n}\cdot\mathbf{q}_{\kappa}|_S=0,\] где\[\psi_n(z)=(-z)^n(\frac{d}{zdz})^n\frac{\sin z}z, \quad \kappa=(n,m,k), n\geq 0, m\in \mathbb{N}, |k|\leq n\]
Эти же вектор-функции являются собственными для оператора
градиент дивергенции с другими собственными значениями:
\[\nabla div \mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}=0;
\quad
\nabla div \mathbf{q}_{\kappa}=\mu_{\kappa}\mathbf{q}_{\kappa},
\quad \mu_{\kappa}=(\alpha_{n,m}/R)^2,\quad \psi_n'(\alpha_{n,m})=0.\]
Построенная система собственных вектор-функций ротора полна и ортогональна в пространстве
${\mathbf{{L}}_{2}}(B)$.
Собственные вектор-функции
$(\mathbf{v}_\kappa, \ p_\kappa)$ оператора Стокса в шаре
представляются в
виде суммы двух собственных функций ротора, соответствующих противоположным собственным значениям:
${\mathbf{v}_{\kappa }}= \mathbf{u}_{\kappa }^{+}+\mathbf{u}_{\kappa
}^{-},$ $p_\kappa=\hbox{const}$.
Ключевые слова:
операторы ротора, градиента дивергенции, Стокса, собственные значения, собственные функции, ряды Фурье.
Поступила в редакцию: 12.01.2012
Образец цитирования:
Р. С. Сакс, “Решение спектральных задач для операторов ротора и Стокса”, Уфимск. матем. журн., 5:2 (2013), 63–81; Ufa Math. J., 5:2 (2013), 63–81
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/ufa199 https://www.mathnet.ru/rus/ufa/v5/i2/p63
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 562 | PDF русской версии: | 295 | PDF английской версии: | 39 | Список литературы: | 84 | Первая страница: | 2 |
|