Гиперболические системы с кратными характеристиками и некоторые их приложения

Рассматривается некоторый класс гиперболических систем линейных неоднородных уравнений с частными производными с одной пространственной переменной. Как правило, в случае систем уравнений с частными производными при решении задач сразу используются дополнительные условия, обеспечивающие единственность задачи. Однако это сильно затрудняет построение решения в случае дополнительных условий нестандартного вида. Для аналогичной ситуации в случае обыкновенных дифференциальных уравнений стараются найти общее решение, для которого затем можно попытаться использовать заданные дополнительные условия. Однако для систем уравнений с частными производными такой подход затруднителен, поскольку, как правило, в этом случае не удается построить общее решение. Для рассмотренного в статье класса систем линейных неоднородных уравнений с частными производными удалось найти алгоритм построения общего решения. Отличительной особенностью рассмотренных систем уравнений является кратность соответствующих характеристик. В качестве применения предложенного алгоритма получено общее решение системы уравнений Колмогорова для вероятностей состояний процесса, описывающего поведение популярной в приложениях модели стохастической системы типа k-из-n: F с общим распределение времени ремонта отказывающих компонент. Указанная система уравнений Колмогорова является системой дифференциальных уравнений в частных производных упомянутого класса. Поэтому для нее удается построить общее решение.