Об одном асимптотическом разложении решения уравнения восстановления

Изучается уравнение восстановления, представляющее собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода типа свертки с разностным ядром. Данное уравнение рассматривается как для плотности восстановления, так и для ее первообразной – функции восстановления. Функция восстановления имеет существенное значение в теории надёжности технических систем не только в качестве описательной характеристики, но также для оптимизации стратегий эксплуатации при управлении профилактического обслуживания в предположении выполнения модели рекуррентных потоков восстановлений. Предлагается аналитический метод получения асимптотического представления решения уравнения восстановления для некоторого класса распределений при выполнении определенного ряда условий на распределение. Достоверность указанного разложения проверена на базовом в математической теории надёжности показательном распределении. В качестве примера, показывающего, что класс описанных распределений не есть пустое множество, рассматривается двухпараметрическое распределение Вейбулла – Гнеденко, которое является естественным обобщением показательного распределения. В работе используются аппарат теории рядов и метод производящей функции моментов, которая является преобразованием Лапласа плотности распределения неотрицательной непрерывной случайной величины. Попутно освещена проблема моментов Чебышёва – Маркова – Стильтеса об однозначном задании распределения последовательностью своих моментов, выполнение которой имеет значимость для указанного разложения. Выражение для решения уравнения восстановления в случае плотности восстановления представляет собой ряд типа Грама – Шарлье в терминах вероятностных моментов.