Одна система массового обслуживания и числа Фибоначчи

Рассматривается однолинейная система массового обслуживания с групповым поступлением требований, в которой моменты поступления групп требований образуют пуассоновский поток, длительности обслуживания имеют показательное распределение, число заявок в группе ограничено, а число мест для ожидания не ограничено. В приходящей группе может быть только одно или два требования. Для данной системы массового обслуживания найдено алгебраическое представление для стационарных вероятностей числа заявок в системе. Данное распределение вероятностей выписывается через многочлены, подобные многочленам Фибоначчи. Частным случаем возникающего распределения является геометрическое распределение. Связь рассматриваемых многочленов с числами Фибоначчи позволяет при определённых условиях на параметры исследуемой системы представить распределение, выписанное через обобщённые многочлены, в виде распределения, содержащего числа Фибоначчи. С помощью формулы Бине для данных многочленов показывается, что в некоторых случаях найденное распределение является асимптотически геометрическим. При этом погрешность убывает экспоненциально. Опираясь на распределение вероятностей, содержащее числа Фибоначчи, в работе представлен элементарный вероятностный вывод производящей функции для чисел Фибоначчи. Доказательство одного комбинаторного тождества позволяет получить представление чисел Фибоначчи через двойную сумму биномиальных коэффициентов, а также показывает второй способ нахождения искомых вероятностей. Из данного тождества путем изменения порядка суммирования для чисел Фибоначчи получаются либо представление Каталана, либо формула Лукаса.