Чебышевские и евклидовы проекции точки на линейное многообразие

Приведены результаты исследования свойств и взаимосвязей чебышевских и евклидовых проекций начала координат на линейное многообразие. В таком виде представляются многие задачи прикладной математики. Евклидовы проекции соответствуют использованию метода наименьших квадратов. Чебышевские проекции соответствуют минимизации максимального отклонения. Приводится и теоретически обосновывается алгоритм поиска чебышевской проекции, всегда дающей однозначный результат и позволяющей обходиться без трудно проверяемого и иногда нарушаемого условия Хаара. Алгоритм базируется на использовании лексикографической оптимизации, на каждом этапе которой отыскивается относительно внутренняя точка оптимальных решений. Свойством вырабатывать относительно внутренние точки оптимальных решений обладают алгоритмы метода внутренних точек. Множества чебышевских и евклидовых проекций начала координат на линейное многообразие формируется путем варьирования положительных весовых коэффициентов при отдельных компонентах векторов в чебышевских и евклидовых нормах. Доказано, что замыкания обоих этих множеств совпадают с множеством векторов линейного многообразия с Парето-минимальными абсолютными значениями компонент. Это в частности означает, что любая чебышевская проекция может быть получена с любой требуемой точностью, как и евклидова проекция, за счет выбора весовых коэффициентов. Это означает также, что любая евклидова проекция (т.е. при любом наборе положительных весовых коэффициентов в евклидовой норме) может быть получена за счет выбора весовых коэффициентов в виде чебышевской проекции.