Условие равномерной интегрируемости в сильных предельных теоремах для отношений. I

Задав цепь Маркова с измеримым пространством состояний $(E,\mathscr{E})$ и переходным оператором $P$ и зафиксировав измеримую функцию $g\geq 0$, мы при надлежащих условиях рассматриваем величины $\mu(f_n)$, где $n\geq 1$ достаточно велико, $f_n=P^n\,f/\nu(P_nf)$, а $\mu$ и $\nu$ являются вероятностными мерами на $\mathscr{E}$. Для широкого класса ситуаций предложены достаточные, а по большей части необходимые и достаточные условия сходимости $f_n$ к 1 при $n \rightarrow \infty$. Отличие этих результатов от принадлежащих Ори, Лину, Нуммелину и иным авторам проявляется в замене как традиционных условий типа возвратности цепи или равномерной ограниченности функций $f_n$, так и условия минорирования из [8] более гибкими предположениями, среди которых особую роль играет требование равномерной интегрируемости функций $f_n$ относительно некоторого набора мер. Наши теоремы влекут слабую, а зачастую и сильную сходимость этих функций к $\varphi\equiv 1$ в соответствующих пространствах суммируемых функций.