A Refinement of Two Theorems in the Theory of Branching Processes

Пусть имеется простейший ветвящийся процесс с одним типом частиц и пусть $F(x)=\sum f_jx_j$ — производящая функция распределения числа потомков первого поколения, $F_1(x)=F(x)$, $F_n(x)=F[F_{n-1}(x)]$. Известно, что при $m=F'(1)<1$ и $F''(l)<\infty$.
(1) Существует предел
$$ G(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{F_n(x)-F_n(0)}{1-F_n(0)}, $$
где $G(x)$ — вероятностная производящая функция.
(2) Существует предел
$$ C=\lim_{n\to\infty}\frac{m^n}{1-F_n(0)}=G'(1-)<\infty. $$

В заметке доказывается, что при $m<1$ справедливо первое утверждение без дополнительных ограничений, а второе — тогда и только тогда, когда $\sum j\log jf_j<\infty$.