On the Connection Between $P$-Continuity and $P$-Uniformity in Weak Convergence

Пусть $P$ — вероятностная мера на сепарабельном метрическом пространстве и $F$ — класс действительных ограниченных измеримых по Борелю функций на $S$. Класс $F$ мы называем $P$-равномерным классом, если $\lim\limits_{n\to\infty}\sup\{|\int f\,dP_n-\int f\,dP|\colon f\in F\}$ для всех последовательностей вероятностных мер $\{P_n\}$, слабо сходящихся к $P$. Скажем, что $F$ есть $P$-непрерывный класс, если каждая функция из $F$ непрерывна почти всюду относительно $P$. Каждый $P$-равномерный класс является $P$-непрерывным классом. В настоящей статье получены результаты, имеющие обратный характер. В том случае, когда $F$ состоит из индикаторов, показано, грубо говоря, что $P$-непрерывный класс, удовлетворяющий некоторым условиям замкнутости, $P$-равномерен (см. следствие к теореме 4 и теорему 5). В предыдущей статье [1] мы смогли получить подобный результат лишь при некотором ограничении на F типа компактности.
Pазделы 4 и 5 содержат результаты специфические для пространств $C[0,1]$ и $D[0,1]$.
В заключительном разделе указывается на имеющуюся связь рассмотренных вопросов с проблемой Гливенко–Кантелли.