Sharp optimality in density deconvolution with dominating bias. I

Рассматривается задача оценивания плотности распределения вероятностей $f$ независимых и одинаково распределенных случайных величин $X_i$, наблюдаемых в присутствии независимого и одинаково распределенного шума. Предполагается что неизвестная плотность $f$ принадлежит классу плотностей, характеристические функции которых ведут себя как $\exp(-\alpha|u|^r)$ при $|u|\to\infty$, где $\alpha>0$, $r>0$. Плотность распределения вероятностей шума считается известной и такой, что ее характеристическая функция убывает как $\exp(-\beta|u|^s)$ при $|u|\to\infty$, где $\beta>0$, $s>0$. В предположении, что $r<s$, предлагается оценка ядерного типа, дисперсия которой оказывается асимптотически пренебрежимой по отношению к квадрату ее смещения как в случае поточечного, так и в случае $\mathbf L_2$-риска. При $r<s/2$ строится точная адаптивная оценка для $f$.