The Galton–Watson process with mean one and finite variance

Пусть $Z_0,Z_1,\dots$ — ветвящийся процесс Галтона–Ватсона с вероятностями перехода $p_k=\mathbf P\{Z_1=k\mid Z_0=1\}$;
$$ P(i,j)=\mathbf P\{Z_{n+1}=j\mid Z_n=i\}=\sum_{k_1+k_2+\dots+k_i=j}p_{n_1}p_{n_2}\dots p_{k_i} $$
и $P_n(i,j)=\mathbf P\{Z_n=j\mid Z_0=i\}$. Предполагается, что $\mathbf E\{Z_1\mid Z_0=1\}=\sum kp_k=1$, и $\sigma^2=\sum k(k-1)p_k<\infty$. Получены предельные теоремы для $P_n(i,j)$ при $n\to\infty$ ($i$ и $j$ могут меняться с $n$) и для $G(i,j)=\sum_{n=0}^\infty P_n(i,j)$ при $i$ и (или) $j\to\infty$. Основным результатом является следующая локальная предельная теорема: если $\sum(k^2\log k)p_k<\infty$, то $n^2\exp\bigl(\frac{2j}{n\sigma^2}\bigr)P_n(i,j)\to\frac{4i}{\sigma^4}$ при $i$ фиксированном и $n\to\infty$, $j\to\infty$, таким образом, что $j/n$ остается ограниченным (утверждение это верно в апериодическом случае).