On the distribution of the number of admissible points in a vector random sample

Случайный вектор $X_i=(X_{i1},X_{i2},\dots,X_{id})$, $i=1,2,\dots,n$, как элемент выборки $X_1,X_2,\dots,X_n$ называется принадлежащим $r$-му слою относительно 1-го ортанта, если в выборке имеется ровно $(r-1)$ точек, все координаты которых больше соответствующих координат вектора $X_i$. Принадлежность $r$-му слою относительно любого другого ортанта или относительно нескольких ортантов определяется аналогично. В работе излагаются непараметрические результаты (точные и асимптотические при $n\to\infty$) для распределения количества точек в слое при заданных $n$, $d$ и $r$ (относительно фиксированного ортанта или множества ортантов). Предполагается, что элементы выборки $X_1,X_2,\dots,X_n$ независимы, оианаковю распределены, имеют взаимно независимые координаты и каждая координата обладает непрерывной функцией распределения. В третьем разделе обсуждается также связанная с указанными исследованиями задача подсчета выборочных точек при случайной группировке (задача счета по случайным ячейкам).