Is there a predictable criterion for mutual singularity of two probability measures on a filtered space?

Вопрос о нахождении предсказуемых критериев абсолютной непрерывности и взаимной сингулярности двух процессов плотности на фильтрованном вероятностном пространстве широко изучен, например, в монографии Ж. Жакода и А. Н. Ширяева [9]. Тогда как проблема абсолютной непрерывности представлена там в полной общности, в том, что касается взаимной сингулярности, остается открытым одно техническое затруднение [9, с. 210 англ. изд.]: "Мы не знаем, возможно ли вывести предсказуемый критерий (необходимые и достаточные условия) для $P'_T\perp P_T,\dots$". Оказывается, что на этот вопрос, поставленный в [9], который мы выбрали также для заглавия нашей статьи, есть два ответа: с негативной стороны мы приводим легкий пример, показывающий, что в общем случае ответом является “не существует”, даже когда мы используем довольно широкую интерпретацию понятия “предсказуемый критерий”. Трудность вызвана тем, что процесс плотности вероятностной меры $P$ по отношению к другой мере $P'$ может внезапно скакнуть в нуль.
С положительной стороны, мы можем охарактеризовать множество, где мера $P'$ становится сингулярной относительно $P$, – при условии, что это происходит не внезапно, а непрерывным образом, – как множество, где расходится процесс Хеллингера, что несомненно есть “предсказуемый критерий”. Эта теорема обобщает результаты, приведенные в книге [9].