On the representation property for 1d general diffusion semimartingales

Общий диффузионный семимартингал — это одномерный непрерывный семимартингал, который также является регулярным строго марковским процессом. Будем говорить, что непрерывный семимартингал обладает свойством представления, если все локальные мартингалы относительно его естественной фильтрации имеют интегральное представление относительно его непрерывной мартингальной составляющей. Свойство представления имеет фундаментальный интерес в области стохастической финансовой математики, где оно тесно связано с понятием полноты рынка. Основной результат этой статьи показывает, что свойство представления выполняется для общего диффузионного семимартингала (который не начинается в поглощающей граничной точке) тогда и только тогда, когда его функция шкалы (локально) абсолютно непрерывна во внутренности фазового пространства. Из нашей основной теоремы следует, что распределения общих диффузионных семимартингалов с такими функциями шкалы являются крайними точками множеств решений их семимартингальных проблем. Более того, мы строим пример общего диффузионного семимартингала, распределение которого не является крайней точкой множества решений его семимартингальной проблемы. Эти результаты вносят вклад в решение проблем, поставленных Ж. Жакодом и М. Йором, а также Д. В. Струком и М. Йором, об экстремальности строго марковских решений мартингальных проблем.