Об оценках параметров процессов диффузионного типа: новый взгляд на последовательные оценки

В работе изучаются свойства последовательных оценок параметров процессов диффузионного типа $\mathbf{X}=\{X_t,\, 0\leqslant t\leqslant \tau \}$, где $\tau $ — момент остановки (это включает случай оценок с фиксированным размером выборки). Ранее некоторые теоретические результаты в этом направлении были изложены в монографии Р. Ш. Липцера и А. Н. Ширяева “Статистика случайных процессов” (2001 г.). При существенно менее ограничительных условиях мы выводим формулы для моментов оценки максимального правдоподобия (ОМП) $\widehat{\lambda}_{\tau}$ для параметра $\lambda$ коэффициента сноса, рассматриваемого в форме $f_t(\lambda)=a_t-\lambda b_t$, а также указываем условия для экспоненциальной ограниченности распределения $\widehat{\lambda}_{\tau}$. В приводимых примерах мы рассматриваем эргодический диффузионный процесс $\mathbf X$ с коэффициентом диффузии $\sigma_t=\sigma X_t^{\gamma}$. Мы также приводим ряд аналитических и численных результатов для смещения и среднеквадратической ошибки ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ в случае процессов Орнштейна–Уленбека (O–U) и Кокса–Ингерсолла–Росса (CIR), когда $\tau =T$ — фиксированный объем выборки и $\tau =\tau_H$ — специально выбранный момент остановки, который гарантирует заданную величину $1/H$ для дисперсии $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$.