| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 4 статьях) Марковские ветвящиеся случайные блуждания по А. В. Люлинцев Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991751 
Реферативные базы данных:
 1. Описание моделиВ настоящей работе изучается ветвящееся случайное блуждание по $\mathbf{Z}_+=\{0,1,2,\dots \}$. Под случайным блужданием в данном случае понимается однородный марковский процесс на фазовом пространстве $\mathbf{Z}_+$ с непрерывным временем $t$. Такой процесс задается своей матрицей переходных интенсивностей $A=(a(n,m))_{n,m\in \mathbf{Z}_+}$ (см., например, [1]), на которую мы налагаем следующие условия: A1. $a(n,m) = 0$ при $|n-m|\geqslant 2$; A2. $a(n,m)>0$ при $|n-m|= 1$, $a(n,n)<0$ и
$$
\begin{equation*}
\sum_{m \in \mathbf{Z}_+} a(n,m)=a(n,n-1)+a(n,n)+a(n,n+1)=0
\end{equation*}
\notag
$$
(в последней формуле мы используем соглашение $a(0,-1)=0$); A3. $a(n,m)=a(m,n)$; A4. $\sup_{n,m\in \mathbf{Z}_+}|a(n,m)|<\infty$. Условия А1 и А2 означают, что частица может переходить только в соседние точки $\mathbf{Z}_+$, т.е. при каждой смене положения частицы ее координата изменяется на единицу, и при старте из любого состояния $n\in \mathbf{Z}_+$ любое состояние $m\in \mathbf{Z}_+$ достижимо, т.е. случайное блуждание является неприводимым. Для $n\in \mathbf{Z}_+$ через $\xi_n(t)$ обозначим траекторию случайного блуждания с начальным условием $\xi_n(0)=n$. Марковское семейство $\xi_n(t)$ стандартным образом определяет полугруппу операторов
$$
\begin{equation*}
P_0^t\colon \ell_2(\mathbf{Z}_+) \to \ell_2(\mathbf{Z}_+), \qquad t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где оператор $P_0^t$ действует на функцию $\varphi \in \ell_2(\mathbf{Z}_+)$ по правилу
$$
\begin{equation}
[P_0^t\varphi](n)=\mathbf{E}\varphi\bigl(\xi_n(t)\bigr).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Через $\mathcal{A}$ обозначим генератор (инфинитезимальный оператор) полугруппы $P_0^t$. Найдем явное выражение для оператора $\mathcal{A}$. При $t \to 0+$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [P_0^t\varphi](n) - \varphi(n) &=\varphi(n)(1+ta(n,n)) \\ &\qquad+t\sum_{m\in \mathbf{Z}_+\setminus\{n\}} a(n,m)\varphi(m)+o(t)-\varphi(n) \\ &=t\biggl(\varphi(n)a(n,n)+\sum_{m\in \mathbf{Z}_+\setminus\{n\}} a(n,m)\varphi(m)\biggr)+o(t) \\ &=t[\mathcal{A}\varphi](n)+o(t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\mathcal{A}\varphi](n) &= \sum_{m\in \mathbf{Z}_+} a(n,m)\varphi(m) \\ &= a(n,n-1)\varphi(n-1)+a(n,n)\varphi(n)+a(n,n+1)\varphi(n+1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
есть оператор, задаваемый матрицей $A$ в стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$. Для описания ветвящегося случайного блуждания добавим к случайному блужданию механизм ветвления. Будем предполагать, что источники ветвления находятся в каждой точке $n\in\mathbf{Z}_+$; в рассматриваемой нами модели источник ветвления описывается последовательностью коэффициентов $d_k(n)$, $k\in\mathbf{N}\cup\{0\}$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation*}
d_1(n)\leqslant 0,\quad d_k(n)\geqslant 0\ \text{ при } k\neq 1\quad \text{и}\quad \sum_{k=0}^{\infty}d_k(n)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Данная последовательность коэффициентов однозначно определяется своей инфинитезимальной производящей функцией
$$
\begin{equation*}
\varkappa (n,u) = \sum_{k=0}^{\infty} d_k(n)u^k, \qquad u\in[0,1],\quad n\in \mathbf{Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Размножение и гибель частиц в источнике ветвления в каждой точке $n\in \mathbf{Z}_+$ задается процессом Гальтона–Ватсона, где $d_k(n)$ — интенсивность деления на $k$ потомков. Через $\beta=(\beta(0),\beta(1),\dots)^\top$ будем обозначать вектор интенсивностей источников. По определению $\beta(n)=\varkappa'(n,1)=\sum_{k=1}^{\infty}kd_k(n)$. Всюду ниже предполагаем выполнение условия
$$
\begin{equation}
\|\beta\|_{\infty}=\sup_{n\in \mathbf{Z}_+} |\beta(n)|<\infty.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Процесс ветвления предполагается независимым от процесса блуждания. Таким образом, каждая частица, находящаяся в момент времени $t$ в некоторой точке $n\in \mathbf{Z}_+$, независимо от остальных частиц в системе может за малое время $h$ перейти с вероятностью $p(h,n,m) = a(n,m)h+o(h)$ в точку $m\neq n$, или произвести $k\neq 1$ потомков, находящихся в этой же точке $n$, с вероятностью $p_k(h,n) = d_k(n)h+o(h)$, или сохраниться (т.е. никаких изменений не произойдет) с вероятностью
$$
\begin{equation*}
1 - \sum_{m\in \mathbf{Z}_+\setminus\{n\}} a(n,m)h-\sum_{k\in\mathbf{Z}_+ \setminus \{1\}} d_k(n)h+o(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в литературе такие процессы также носят название однородных марковских ветвящихся процессов на фазовом пространстве $\mathbf{Z}_+$ (см. [2; гл. V, § 3]), но мы, следуя [3], будем называть их ветвящимися случайными блужданиями. Обозначим через $X_n(t)$, $t\geqslant 0$, процесс, задаваемый оператором $\mathcal{A}$ и производящей функцией $\varkappa(n,u)$, с условием $X_n(0)=\delta_n$ того, что в момент времени $t=0$ в системе имеется ровно одна частица, находящаяся в точке $n\in\mathbf{Z}_+$, где $\delta_n$ — дельта-мера в точке $n$. Как и в [4], процесс $X_n(t)$ мы далее будем рассматривать как марковский процесс, принимающий значения в пространстве $\mathcal{M}$ всех конечных целочисленных мер на $\mathbf{Z}_+$. Всякий элемент $M\in\mathcal{M}$ имеет вид где $k\in \mathbf{N} \cup \{0\}$ и $m_j\in \mathbf{Z}_+$. Важно отметить, что в представлении (3) точки $m_j$ не обязательно различны, что соответствует тому, что в одной точке $\mathbf{Z}_+$ может находиться несколько частиц одновременно, и отличаются находящиеся в одной точке частицы только своими номерами в списке частиц $\{m_1, m_2,\dots, m_k\}$. Другими словами, каждое $m_j$ соответствует отдельной частице, которую мы кодируем занятой ею точкой $m_j$ и ее номером $j$ в списке. Так как далее мы будем рассматривать только симметрические функции от $X_n(t)$, конкретный выбор нумерации частиц не играет роли. Для $M \in \mathcal{M}$ символом $\{ M \}$ будем обозначать множество всех частиц, это множество мы будем записывать как причем в этом представлении каждая точка $\mathbf{Z}_+$ может встречаться несколько раз, что соответствует тому, что в этой точке находится несколько частиц.Итак, ветвящееся случайное блуждание $X_n(t)$ мы рассматриваем как $\mathcal{M}$-значный марковский случайный процесс, определяемый тем условием, что в начальный момент времени имеется единственная частица в точке $n\in\mathbf{Z}_+$. Нас будет интересовать величина, равная среднему числу частиц $N_n(t,m)$ в некоторой точке $m\in \mathbf{Z}_+$ в момент времени $t> 0$, а также асимптотическое поведение этой величины при $t\to +\infty$. Ниже мы покажем, что исследование величин $N_n(t,m)$ связано с исследованием некоторой матрицы Якоби. В терминах ортогональных многочленов, соответствующих этой матрице, будут получены точные значения для величин $N_n(t,m)$ в общей модели, а далее эти результаты будут применены к некоторым конкретным моделям, для которых величины $N_n(t,m)$ будут выражены в терминах специальных функций и будет найдено асимптотическое поведение $N_n(t,m)$ при $t \to +\infty$. Автор выражает глубокую благодарность Н. В. Смородиной за постановку задачи и внимание к работе, а также В. Э. Петрову за полезные советы. 2. Полугруппа операторов, порождаемая ветвящимся случайным блужданиемОпределим еще одну полугруппу операторов. Напомним, что процесс $X_n(t)$ мы рассматриваем как марковский случайный процесс со значениями в пространстве $\mathcal{M}$, при этом случайное множество $\{X_n(t)\}$ определяется формулой (4). Для каждых $t \geqslant 0$, $n\in \mathbf{Z}_+$ и $\varphi\in \ell_2(\mathbf{Z}_+)$ определим случайную величину $\mathfrak{I}_{t,n}(\varphi)$, полагая
$$
\begin{equation}
\mathfrak{I}_{t,n}(\varphi) = \sum_{m\in \{X_n(t)\}} \varphi(m) = \int_{\mathbf{Z}_+}\varphi\, dX_n(t).
\end{equation}
\tag{5}
$$
По определению $\mathfrak{I}_{0,n}(\varphi)=\varphi(n)$. Для каждого $t\geqslant 0$ определим оператор $P^t\colon \ell_2(\mathbf{Z}_+)\to\ell_2(\mathbf{Z}_+)$. Этот оператор действует на $\varphi\in\ell_2(\mathbf{Z}_+)$ по формуле
$$
\begin{equation}
[P^t\varphi](n)=\mathbf{E} \mathfrak{I}_{t,n}(\varphi).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Лемма 1. Семейство операторов $P^t$ является полугруппой, т.е. для всех $s,t\geqslant 0$ справедливо соотношение Доказательство. Используя (5) и тот факт, что $X_n(t)$ является марковским процессом, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [P^{t+s}\varphi](n) &=\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t+s,n}(\varphi) =\mathbf{E}\mathbf{E}\{\mathfrak{I}_{t+s,n}(\varphi)\mid X_n(t)\} \\ &=\mathbf{E}\biggl\{\sum_{m\in\{X_n(t)\}} \mathbf{E}\mathfrak{I}_{s,m}(\varphi)\biggr\} = \mathbf{E}\biggl\{\sum_{m\in\{X_n(t)\}} [P^s\varphi](m)\biggr\} \\ &= \mathbf{E} \mathfrak{I}_{t,n}(P^s\varphi) = [P^tP^s\varphi](n), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает лемму. Определим диагональный оператор $\mathcal{B}$, задаваемый в стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$ матрицей
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \beta(0)& 0& 0& \dots \\ 0& \beta(1)& 0& \dots \\ 0& 0& \beta(2)& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Лемма 2. Генератор полугруппы $P^t$ есть оператор $\mathcal{A}+\mathcal{B}$, т.е. для всех $\varphi\in \ell_2(\mathbf{Z}_+)$, $n\in\mathbf{Z}_+$ имеет место соотношение Доказательство. При $t\to 0+$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[P^t\varphi](n)-\varphi(n) = \mathbf{E} \mathfrak{I}_{t,n}(\varphi)-\varphi(n) \\ &\quad= \varphi(n)\bigl(1+ta(n,n)+o(t)\bigr)\bigl(1+tb_1(n)+o(t)\bigr) \\ &\quad\qquad+t\sum_{m\in \mathbf{Z}_+\setminus\{n\}} a(n,m)\varphi(m)+t\sum_{k\in\mathbf{Z}_+ \setminus \{1\}} kb_k(n)\varphi(n)+o(t)-\varphi(n) \\ &\quad= t\sum_{m\in \mathbf{Z}_+} a(n,m)\varphi(m)+t\sum_{k=0}^{\infty}\varphi(n)+o(t)= t[\mathcal{A}\varphi](n)+t\beta(n)\varphi(n)+o(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней формулы сразу же следует утверждение леммы. Заметим, что утверждение леммы 2 эквивалентно операторному тождеству (см., например, [5; гл. 8, § 2])
$$
\begin{equation*}
P^t = e^{t\mathcal{H}}, \quad \text{где }\ \mathcal{H}=\mathcal{A}+\mathcal{B};
\end{equation*}
\notag
$$
здесь оператор $\mathcal{A}$ отвечает блужданию, а диагональный оператор $\mathcal{B}$ отвечает ветвлению. В нашей модели оператор $\mathcal{H}$ в стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$ задается матрицей Якоби
$$
\begin{equation}
H = \begin{pmatrix} a_0& b_0& 0& 0& \dots \\ b_0& a_1& b_1& 0& \dots \\ 0& b_1& a_2& b_2& \dots \\ 0& 0& b_2& a_3& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где последовательности $\{a_k\}$, $\{b_k\}$ для всех $k\in \mathbf{Z}_+$ определяются равенствами
$$
\begin{equation*}
a_k = a(k,k)+\beta(k), \qquad b_k=a(k,k+1)=a(k+1,k)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Важно отметить (и далее мы будем это использовать), что верно и обратное: всякая матрица $H$ вида (7) с условием $b_k>0$ для любого $k \in \mathbf{Z}_+$ может быть однозначно представлена в виде суммы матриц, отвечающих операторам блуждания и ветвления, а именно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H &= \begin{pmatrix} -b_0& b_0& 0& \dots \\ b_0& -(b_0+b_1)& b_1& \dots \\ 0& b_1& -(b_1+b_2)& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix} \nonumber \\ &\qquad+\begin{pmatrix} a_0+b_0& 0& 0& \dots \\ 0& a_1+b_0+b_1& 0& \dots \\ 0& 0& a_2+b_1+b_2& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Из условий А3, А4 и (2) вытекает, что оператор $\mathcal{H}$ является самосопряженным ограниченным оператором в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$. Функция $u(n,t)=[P^t\varphi](n)$ является решением задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} = \mathcal{H} u, \\ u(n,0)=\varphi(n). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим в качестве $\varphi$ индикаторную функцию одноточечного множества $\{m\}$, где $m\in\mathbf{Z}_+$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{I}_{\{m\}}(k)=\delta_{mk}, \quad \text{где }\delta_{mk}-\text{ символ Кронекера}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5) следует, что $\mathfrak{I}_{t,n}(\mathbf{I}_{\{m\}})$ есть число частиц в точке $m$ в момент времени $t$ при условии, что в начальный момент времени в системе имелась ровно одна частица, находящаяся в точке $n$. Соответственно, в этом случае среднее число частиц $N_n(t,m)$ в точке $m$ есть
$$
\begin{equation}
N_n(t,m)=\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t,n}(\mathbf{I}_{\{m\}}) = [P^t\mathbf{I}_{\{m\}}](n)=[e^{t\mathcal{H}}\mathbf{I}_{\{m\}}](n).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Таким образом, исследование среднего числа частиц в точке сводится к нахождению экспоненты оператора $\mathcal{H}$. Задача построения функции от самосопряженного оператора (в данном случае — экспоненты) легко решится, если мы сможем диагонализовать оператор $\mathcal{H}$ (см., например, [5; гл. 6, § 1–3]). Так как оператор $\mathcal{H}$ действует в бесконечномерном пространстве, соответствующая задача является достаточно сложной. В литературе использовался метод исследования среднего числа частиц, основанный на диагонализации оператора, отвечающего ветвящемуся случайному блужданию. Можно выделить два основных случая, когда диагонализация оказывалась возможной. В первом случае, когда оператор блуждания $\mathcal{A}$ являлся оператором свертки в $\mathbf{Z}^d$, проблема исследовалась Е. Б. Яровой [3], С. А. Молчановым [6], А. И. Рытовой [7], Д. М. Балашовой [8] и другими. В указанных работах на решетке $\mathbf{Z}^d$ имелось только конечное число источников ветвления. В этом случае оператор $\mathcal{A}$ (задающий блуждание) диагонализовался дискретным преобразованием Фурье. Наличие конечного числа источников ветвления могло приводить к появлению в спектре только конечного числа положительных собственных значений. Во втором случае в работах М. В. Платоновой и К. С. Рядовкина [9]–[12] также рассматривалось ветвящееся случайное блуждание по решетке $\mathbf{Z}^d$, но при других условиях. Источники могли находиться в каждой точке решетки $\mathbf{Z}^d$, предполагалась периодичность как матрицы оператора $\mathcal{A}$, так и производящей функции $\varkappa$ источников. В этом случае для решения задачи использовался дискретный аналог теории Флоке–Блоха. В нашем случае рассматривается ветвящееся случайное блуждание по $\mathbf{Z}_+$ специального вида, в котором при каждой смене положения частицы ее координата изменяется на единицу, но мы не предполагаем ни пространственную однородность, ни периодичность. Для диагонализации оператора, соответствующего данному ветвящемуся случайному блужданию, будет использована теория ортогональных многочленов и матриц Якоби [13], [14]. В следующем разделе приводятся все необходимые сведения. 3. Формула для среднего числа частиц $N_n(t,m)$Сначала приведем необходимые сведения из теории якобиевых матриц и ортогональных многочленов. Подробное изложение данной теории можно найти, например, в [13]. Напомним, что в нашем случае оператор $\mathcal{H}$ в стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$ задается матрицей Якоби (7), где $a_k\in\mathbf{R}$, $b_k>0$ и обе последовательности $\{a_k\}$, $\{b_k\}$ ограничены. При этих условиях оператор $\mathcal{H}$ является самосопряженным и ограниченным, а его спектр $\sigma(\mathcal{H})$ содержится в некотором конечном интервале $[B_1,B_2]$. Для каждого $\lambda \in \sigma(\mathcal{H})$ решаем задачу на собственные значения:
$$
\begin{equation}
\mathcal{H} P(\lambda)=\lambda P(\lambda), \quad \text{где } \ P(\lambda)=\bigl(1,P_1(\lambda),P_2(\lambda),\dots \bigr)^\top.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Из (10) и явного вида (7) матрицы $H$ получаем рекуррентное соотношение для $\{P_n(\lambda)\}_{n=0}^{\infty}$:
$$
\begin{equation}
b_{n-1}P_{n-1}(\lambda)+a_nP_n(\lambda)+b_nP_{n+1}(\lambda)=\lambda P_n(\lambda),\quad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $P_0(\lambda)=1$, $P_{1}(\lambda)=(\lambda - a_0)/b_0$. Нетрудно показать, что $P_n(\lambda)$ является многочленом от $\lambda$. Далее через $\mathbf{R}[\lambda]$ будем обозначать пространство всех многочленов от $\lambda$ с вещественными коэффициентами. Приведем некоторые свойства многочленов $\{P_n(\lambda)\}_{n=0}^{\infty}$. Через $P_n(\mathcal{H})$ обозначим оператор, получаемый подстановкой в многочлен $P_n(\lambda)$ вместо переменной $\lambda$ оператора $\mathcal{H}$. Лемма 3. Для всех $n\in \mathbf{Z}_+$ справедливы следующие утверждения: 1) $\deg P_n(\lambda)=n$; 2) коэффициент при $\lambda^n$ в многочлене $P_n(\lambda)$ равен $1/(b_0b_1\cdots b_{n-1})$; 3) $\vec{e}_n = P_n(\mathcal{H})\vec{e}_0$, где $\vec{e}_j = (0,0,\dots,0,1,0,\dots)^\top$ (единица стоит на $j$-м месте) — $j$-й орт в стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$. Доказательство см., например, в [13; гл. I, § 1, гл. IV, § 1]. Для $\varphi, \psi\in \ell_2(\mathbf{Z}_+)$ через $(\varphi, \psi)$ будем обозначать соответствующее скалярное произведение:
$$
\begin{equation*}
(\varphi, \psi) = \sum_{m\in \mathbf{Z}_+}\varphi(m)\psi(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, через $E$ обозначим спектральную меру оператора $\mathcal{H}$ (см., например, [5; гл. 5, § 1]). По определению $E$ является проекторнозначной мерой. По мере $E$ построим скалярную меру $\rho$ на $\mathbf{R}$, для любого борелевского множества $D$ полагая Так как $\rho(\mathbf{R})=(E(\mathbf{R})\vec{e}_0, \vec e_0)=(\vec{e}_0, \vec e_0)=1$, мера $\rho$ является вероятностной мерой на $\mathbf{R}$ с носителем $\sigma(\mathcal{H})$. Далее нам будет удобнее следовать обозначениям из книги [13] и рассматривать меру на $\mathbf{R}$.Определим скалярное произведение для $f,g\in L_2(\mathbf{R},\rho)$, полагая
$$
\begin{equation*}
(f,g)_\rho=\int_{\mathbf{R}}f(\lambda)g(\lambda)\, \rho(d\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение (для удобства читателя мы приводим его с доказательством). Доказательство. Прежде всего заметим, что где $\delta_{nm}$ — символ Кронекера.
С другой стороны, пользуясь леммой 3, спектральной теоремой (см., например, [5; гл. 6, § 1]) и определением меры $\rho$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_\mathbf{R} \bigl(E(d\lambda)\vec{e}_n, \vec e_m\bigr) &= \int_\mathbf{R} \bigl(E(d\lambda)P_n(H)\vec{e}_0, P_m(H)\vec e_0\bigr) \nonumber \\ &=\int_\mathbf{R} P_n(\lambda)P_m(\lambda)\bigl(E(d\lambda)\vec{e}_0, \vec e_0\bigr) =\int_\mathbf{R} P_n(\lambda)P_m(\lambda)\, \rho(d\lambda). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Из (13) и (14) следует соотношение Лемма доказана. Следующим шагом построим аналог преобразования Фурье. А именно, мы построим унитарный оператор, сплетающий оператор $\mathcal{H}$ и оператор умножения на $\lambda$ в $L_2(\mathbf{R},\rho)$. Для этого сначала определим отображение $U$ на стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$, полагая Далее продолжим это отображение по линейности на множество $\mathcal{L}$ всех конечных линейных комбинаций векторов $\vec e_n$. В силу леммы 4 построенный оператор $U\colon\mathcal{L}\to \mathbf{R}[\lambda]\subset L_2(\mathbf{R},\rho)$ сохраняет скалярное произведение, т.е. является изометрическим. Продолжим его на замыкание $\mathcal{L}$, т.е. на все $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$, тогда $U(L_2(\mathbf{Z}_+))$ совпадет с замыканием $\mathbf{R}[\lambda]$ в $L_2(\mathbf{R},\rho)$. В нашем случае (напомним, что $\sigma(\mathcal{H}) \subset [B_1,B_2]$) множество многочленов плотно в $L_2(\mathbf{R},\rho)$, а потому замыкание $\mathbf{R}[\lambda]$ совпадает с $L_2(\mathbf{R},\rho)$ (см. [13; гл. I, § 1 и гл. II, § 2, 3]). Таким образом, оператор $U$ является унитарным оператором (или, другими словами, изометрическим изоморфизмом пространств $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$ и $L_2(\mathbf{R},\rho)$). Покажем теперь, что унитарный оператор $U$ диагонализует $\mathcal{H}$. Справедливо следующее утверждение. Доказательство. Утверждение леммы эквивалентно тому, что для произвольного $g\in \ell_2(\mathbf{Z}_+)$ выполнено соотношение $[U\mathcal{H} g](\lambda)=\lambda[Ug](\lambda)$. Ясно, что это соотношение достаточно проверить для $g = \vec e_n$ при всех $n\in \mathbf{Z}_+$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [U\mathcal{H} g](\lambda)&=[U\mathcal{H} \vec e_n](\lambda)=U[b_{n-1}\vec{e}_{n-1} + a_n\vec{e}_n+b_n\vec{e}_{n+1}](\lambda) \\ &=b_{n-1}P_{n-1}(\lambda) + a_nP_n(\lambda)+b_nP_{n+1}(\lambda) \\ &=\lambda P_n(\lambda) = \lambda [U\vec e_n](\lambda) = \lambda[Ug](\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Из леммы 5 и определения функции от самосопряженного оператора (см., например, [5; гл. 6, § 1–3]) вытекает соотношение
$$
\begin{equation*}
[Ue^{t\mathcal{H}} U^*f](\lambda)=e^{t\lambda }f(\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. оператор $e^{t\mathcal{H}}$ диагонализуется с помощью оператора $U$ и становится оператором умножения на $e^{t\lambda}$. С помощью леммы 5 можно получить формулу для среднего числа частиц $N_n(t,m)$. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $X_n(t)$, $X_n(0)\,{=}\,\delta_n$, — ветвящееся случайное блуждание по $\mathbf{Z}_+$, соответствующая ему матрица $H$ (и оператор $\mathcal{H}$) задается формулой (7), а мера $\rho$ определяется формулой (12). Тогда для среднего числа $N_n(t,m)$ частиц в точке $m\in \mathbf{Z}_+$ в момент времени $t\geqslant 0$ справедливо равенство Доказательство. Заметим, что функция $\mathbf{I}_{\{m\}}$ является вектором $\vec e_m$ в пространстве $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$. Соответственно, в силу (9) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_n(t,m)&=\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t,n}(\mathbf{I}_{\{m\}}) =[e^{t\mathcal{H}}\mathbf{I}_{\{m\}}](n)=\bigl[U^*\bigl(e^{t\lambda}P_m(\lambda)\bigr)\bigr](n) \\ &=\bigl(e^{t\lambda}P_m(\lambda),P_n(\lambda)\bigr)_\rho = \int_\mathbf{R} e^{t\lambda} P_m(\lambda)P_n(\lambda)\, \rho(d\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Итак, получена общая формула для вычисления среднего числа частиц $N_n(t,m)$ в точке $m$ в момент времени $t$ при условии, что в начальный момент времени в системе находилась единственная частица в точке $n$. В качестве примеров проведем вычисления для моделей ветвящихся случайных блужданий, отвечающих некоторым классическим ортогональным многочленам. 4. Примеры4.1. Многочлены Чебышёва II родаРассмотрим оператор $\mathcal{H}$, который в стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$ задается матрицей
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0& 1& 0& 0& \dots \\ 1& 0& 1& 0& \dots \\ 0& 1& 0& 1& \dots \\ 0& 0& 1& 0& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots \end{pmatrix} \nonumber \\ &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1& 1& 0& 0& \dots \\ 1& -2& 1& 0& \dots \\ 0& 1& -2& 1& \dots \\ 0& 0& 1& -2& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/2& 0& 0& 0& \dots \\ 0& 1& 0& 0& \dots \\ 0& 0& 1& 0& \dots \\ 0& 0& 0& 1& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Заметим, что правая часть (15) соответствует представлению (8) матрицы $H$ в виде суммы матриц, первая из которых отвечает за блуждание, а вторая — за ветвление. В данной модели частица в отличной от нуля точке $\mathbf{Z}_+$ равновероятно может переходить в соседние точки. В нуле частица с некоторой вероятностью остается на месте или делает переход в единицу. Источники единичной интенсивности располагаются во всех отличных от нуля точках $\mathbf{Z}_+$, в нуле располагается источник интенсивности $1/2$. Для данной модели из теоремы 1 вытекает следующее утверждение. Теорема 2. Пусть $X_n(t)$, $X_n(0)\,{=}\,\delta_n$, — ветвящееся случайное блуждание с тем условием, что в момент времени $t=0$ в системе имеется ровно одна частица, находящаяся в точке $n\in\mathbf{Z}_+$, соответствующая ему матрица $H$ (и оператор $\mathcal{H}$) задается формулой (15). Тогда для среднего числа частиц $N_n(t,m)$ в точке $m\in \mathbf{Z}_+$ в момент времени $t\geqslant 0$ справедливо равенство где — функция Инфельда (модифицированная функция Бесселя I рода). Доказательство. В данном случае рекуррентное соотношение (11) имеет вид где $P_0(\lambda)=1$, $P_1(\lambda)=2\lambda$.
Решением этого конечно-разностного уравнения являются многочлены Чебышёва II рода
$$
\begin{equation*}
P_n(\lambda)=\frac{\sin((n+1)\arccos \lambda)}{\sqrt{1-\lambda^2}},\qquad n\in\mathbf{Z}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
которые ортонормированы по мере
$$
\begin{equation*}
\rho(d\lambda)=\frac{2}{\pi}\,\mathbf{I}_{[-1,1]}(\lambda)\sqrt{1-\lambda^2}\, d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теорему 1, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_n(t,m) &=\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t,n}(\mathbf{I}_{\{m\}}) =\bigl(e^{t\lambda}P_m(\lambda),P_n(\lambda)\bigr)_\rho = \int_\mathbf{R} e^{t\lambda} P_m(\lambda)P_n(\lambda)\, \rho(d\lambda) \\ &=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^{1}e^{t\lambda}\, \frac{\sin((m+1)\arccos \lambda)\sin((n+1)\arccos \lambda)}{\sqrt{1-\lambda^2}}\,d\lambda \\ &=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}e^{t\cos\theta}\sin\bigl((m+1)\theta\bigr) \sin\bigl((n+1)\theta\bigr) \,d\theta \\ &=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}e^{t\cos\theta}\cos\bigl((m\,{-}\,n)\theta\bigr)\,d\theta \,{-}{\kern1pt}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}e^{t\cos\theta}\cos\bigl((m\,{+}\,n\,{+}\,2)\theta\bigr)\,d\theta \\ &= I_{m-n}(t) - I_{m+n+2}(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым теорема доказана. Следствие 1. Пусть $X_n(t)$, $X_n(0)=\delta_n$, — ветвящееся случайное блуждание по $\mathbf{Z}_+$, удовлетворяющее условиям теоремы 2. Тогда для среднего числа частиц $N_n(t,m)$ в точке $m\in \mathbf{Z}_+$ справедливо асимптотическое равенство Доказательство. Воспользуемся рекуррентным соотношением для функции Инфельда (см., например, [15; гл. IV, § 11]) и ее асимптотическим поведением (см., например, [15; гл. IV, § 11])
$$
\begin{equation*}
I_n(t) = \frac{e^t}{\sqrt{2\pi t}}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr) \quad \text{при }\ t\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{m-n}(t) - I_{m+n+2}(t) &= I_{m-n}(t) - I_{m-n+2}(t) +\dots +I_{m+n}(t)- I_{m+n+2}(t) \\ &= 2\, \frac{m\,{-}\,n\,{+}\,1}{t}I_{m-n+1}(t)+\dots +2\, \frac{m\,{+}\,n\,{+}\,1}{t}I_{m+n+1}(t) \\ &=\frac{2e^t}{t\sqrt{2\pi t}}\sum_{k=1}^{n+1} (m-n+2k-1) \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr) \\ &= \frac{2(m+1)(n+1)e^t}{t\sqrt{2\pi t}}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr) \quad \text{при }\ t\to +\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие доказано. Возникновение сомножителя $e^t$ в асимптотике достаточно естественно. Это можно увидеть из явного вида (15) матрицы $H$. Если мы рассмотрим матрицу $\widetilde H = H-I$, где $I$ — единичная матрица, то новой матрице $\widetilde H$ будет соответствовать ветвящееся случайное блуждание с единственным поглощающим состоянием в нуле. После сдвига на единичную матрицу спектр оператора сдвигается на единицу влево и становится равным $[-2,0]$. Поэтому полученный экспоненциальный рост в асимптотике объясняется этой единичной матрицей. С помощью формул, связывающих функции Инфельда с функциями Бесселя (см., например, [15; гл. IV, § 11]) и Ганкеля (см., например, [16; гл. 4, § 4.7]), может быть получено следующее асимптотическое равенство (см. [16; гл. 4, § 4.8, (4.8.3) и (4.8.4)]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_n(t) &= \frac{ i^{-n}}{2} H_n^{(1)}(it)+o(1) \nonumber \\ &= \frac{e^{t}}{\sqrt{2\pi t}} \biggl[\sum_{j=0}^{k-1} \frac{(-1)^j(n,j)}{(2t)^j}+O\biggl(\frac{1}{t^k}\biggr)\biggr] \quad \text{при }\ t\to +\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $H^{(1)}_n(t)$ — функция Ганкеля (функция Бесселя III рода), а символ Ганкеля $(n,j)$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
(n,j) = \frac{(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)\cdots (4n^2-(2j-1)^2)}{2^{2j}j!}.
\end{equation*}
\notag
$$
4.2. Многочлены Чебышёва I родаРассмотрим теперь оператор $\mathcal{H}$, который в стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$ задается матрицей
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0& \sqrt{2}& 0& 0& \dots \\ \sqrt{2}& 0& 1& 0& \dots \\ 0& 1& 0& 1& \dots \\ 0& 0& 1& 0& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots \end{pmatrix}{=}\,\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -\sqrt{2}& \sqrt{2}& 0& 0& \dots \\ \sqrt{2}& -(1\,{+}{\kern1pt}\sqrt{2})& 1& 0& \dots \\ 0& 1& -2& 1& \dots \\ 0& 0& 1& -2& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots \end{pmatrix} \nonumber \\ &\qquad+ \begin{pmatrix} \sqrt{2}/2& 0& 0& 0& \dots \\ 0& (1+\sqrt{2})/2 & 0& 0& \dots \\ 0& 0& 1& 0& \dots \\ 0& 0& 0& 1& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Из явного вида (18) матрицы $H$ следует, что блуждание и ветвления в отличных от нуля и единицы точках устроены таким же образом, как и в предыдущем примере (см. п. 4.1). Однако в выделенных точках поведение более сложное. Если вычесть единичную матрицу из $H$, как это было сделано в конце предыдущего примера, то нуль станет поглощающим состоянием, а в точке единица интенсивность останется положительной. Причем по абсолютной величине в точке единица интенсивность меньше, чем в нуле: $(1+\sqrt{2})/2-1 < |\sqrt{2}/2-1|$. Для данной модели из теоремы 1 вытекает следующее утверждение. Теорема 3. Пусть $X_n(t)$, $X_n(0)\,{=}\,\delta_n$, — ветвящееся случайное блуждание по $\mathbf{Z}_+$ с тем условием, что в момент времени $t=0$ в системе имеется ровно одна частица, находящаяся в точке $n\in\mathbf{Z}_+$, соответствующая ему матрица $H$ (и оператор $\mathcal{H}$) задается формулой (18). Тогда для среднего числа частиц $N_n(t,m)$ в точке $m\in \mathbf{Z}_+$ в момент времени $t\geqslant 0$ справедливо равенство Доказательство. В данном случае рекуррентное соотношение (11) имеет вид где $P_0(\lambda)=1$, $P_1(\lambda)=\sqrt{2}\, \lambda$, $P_2(\lambda)=(2\lambda^2+1)\sqrt{2}$.
Решением данного конечно-разностного уравнения являются многочлены Чебышёва I рода
$$
\begin{equation*}
P_0(\lambda)=1,\quad P_n(\lambda) = \sqrt{2}\cos(n\arccos{\lambda)}, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
которые ортонормированы по мере
$$
\begin{equation*}
\rho(d\lambda)=\frac{1}{\pi}\,\mathbf{I}_{[-1,1]}(\lambda)\,\frac{d\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Дальнейшие вычисления аналогичны используемым при доказательстве теоремы 2. Рассмотрим четыре случая. Случай 1. Если $n=m=0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_0(t,0) &=\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t,0}(\mathbf{I}_{\{0\}}) =\bigl(e^{t\lambda}P_0(\lambda),P_0(\lambda)\bigr)_\rho = \int_\mathbf{R} e^{t\lambda} P_0(\lambda)P_0(\lambda)\, \rho(d\lambda) \\ &=\frac{1}{\pi}\int_{-1}^{1}e^{t\lambda}\, \frac{d\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}} =\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}e^{t\cos\theta}\,d\theta=I_0(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 2. Если $n=0$, $ m>0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_0(t,m) &=\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t,0}(\mathbf{I}_{\{m\}}) =\bigl(e^{t\lambda}P_m(\lambda),P_0(\lambda)\bigr)_\rho = \int_\mathbf{R} e^{t\lambda} P_m(\lambda)P_0(\lambda)\, \rho(d\lambda) \\ &=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_{-1}^{1}e^{t\lambda} \frac{\cos(m\arccos{\lambda)}}{\sqrt{1-\lambda^2}}\,d\lambda \\ &=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_0^{\pi}e^{t\cos\theta}\cos(m\theta)\,d\theta =\sqrt{2}I_m(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 3. Если $n>0$, $m=0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_n(t,0)&=\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t,n}(\mathbf{I}_{\{0\}}) =\bigl(e^{t\lambda}P_0(\lambda),P_n(\lambda)\bigr)_\rho \\ &=\bigl(e^{t\lambda}P_n(\lambda),P_0(\lambda)\bigr)_\rho =N_0(t,n)=\sqrt{2}\, I_n(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 4. Если $n,m>0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N_n(t,m)\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t,n}(\mathbf{I}_{\{m\}}) =\bigl(e^{t\lambda}P_m(\lambda),P_n(\lambda)\bigr)_\rho = \int_\mathbf{R} e^{t\lambda} P_m(\lambda)P_n(\lambda)\, \rho(d\lambda) \\ &\qquad=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^{1}e^{t\lambda} \frac{\cos(m\arccos\lambda)\cos(n\arccos\lambda)}{\sqrt{1-\lambda^2}}\,d\lambda \\ &\qquad=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}e^{t\cos\theta}\cos(m\theta)\cos(n\theta)\,d\theta \\ &\qquad=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}e^{t\cos\theta}\cos\bigl((m-n)\theta\bigr)\,d\theta +\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}e^{t\cos\theta}\cos\bigl((m+n)\theta\bigr)\,d\theta \\ &\qquad= I_{m-n}(t)+I_{n+m}(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым теорема доказана. Следствие 2. Пусть $X_n(t)$, $X_n(0)=\delta_n$, — ветвящееся случайное блуждание по $\mathbf{Z}_+$, удовлетворяющее условиям теоремы $3$. Тогда для среднего числа частиц $N_n(t,m)$ в точке $m\in \mathbf{Z}_+$ справедливо асимптотическое равенство при $t\to +\infty$ Доказательство. Применим к результату теоремы 3 асимптотическое равенство (17) для функции Инфельда
$$
\begin{equation*}
I_n(t) = \frac{e^t}{\sqrt{2\pi t}}\biggl(1-\frac{4n^2-1}{8t} +O\biggl(\frac{1}{t^2}\biggr)\biggr) \quad \text{при }\ t\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{m-n}(t)+I_{m+n}(t) &= \frac{e^{t}}{\sqrt{2\pi t}} \biggl(2 \,{-}\,\frac{4(m\,{-}\,n)^2-1}{8t}-\frac{4(m\,{+}\,n)^2\,{-}\,1}{8t} \,{+}\,O\biggl(\frac{1}{t^2}\biggr)\biggr) \\ &=\frac{2e^{t}}{\sqrt{2\pi t}} \biggl( 1\,{-}\,\frac{4m^2\,{+}\,4n^2\,{-}\,1}{8t} \,{+}\,O\biggl(\frac{1}{t^2}\biggr)\biggr)\quad \text{при }\ t\to +\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие доказано. Заметим, что, используя (17), в данном случае также можно найти следующие члены асимптотического разложения. 4.3. Многочлены ЛежандраНаконец, рассмотрим оператор $\mathcal{H}$, который в стандартном базисе в $\ell_2(\mathbf{Z}_+)$ задается матрицей
$$
\begin{equation}
H = \begin{pmatrix} 0& 1/\sqrt{1\cdot3}& 0& 0& \dots \\ 1/\sqrt{1\cdot 3}& 0& 2/\sqrt{3\cdot 5}& 0& \dots \\ 0& 2/\sqrt{3\cdot 5}& 0& 3/\sqrt{5\cdot 7}& \dots \\ 0& 0& 3/\sqrt{5\cdot 7}& 0& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Для данной модели из теоремы 1 вытекает следующее утверждение. Теорема 4. Пусть $X_n(t)$, $X_n(0)\,{=}\,\delta_n$, — ветвящееся случайное блуждание по $\mathbf{Z}_+$ с тем условием, что в момент времени $t=0$ в системе имеется ровно одна частица, находящаяся в точке $n\in\mathbf{Z}_+$, соответствующая ему матрица $H$ (и оператор $\mathcal{H}$) задается формулой (19). Тогда для среднего числа частиц $N_n(t,m)$ в точке $m\in \mathbf{Z}_+$ в момент времени $t\geqslant 0$ справедливо равенство Доказательство. В данном случае рекуррентное соотношение (11) имеет вид где $P_0(\lambda)=1$, $P_1(\lambda)=\lambda\sqrt{3}$.
Решением данного конечно-разностного уравнения являются многочлены Лежандра (21), которые ортонормированы по мере
$$
\begin{equation*}
\rho(d\lambda)=\frac{1}{2}\,\mathbf{I}_{[-1,1]}(\lambda)\,d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теорему 1, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_n(t,m) &=\mathbf{E}\mathfrak{I}_{t,n}(\mathbf{I}_{\{m\}}) =\bigl(e^{t\lambda}P_m(\lambda),P_n(\lambda)\bigr)_\rho = \int_\mathbf{R} e^{t\lambda} P_m(\lambda)P_n(\lambda)\, \rho(d\lambda) \\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}e^{t\lambda}\, \frac{\sqrt{2m+1}}{(2m)!!} \, \frac{d^m}{d\lambda^m}(\lambda^2-1)^m \, \frac{\sqrt{2n+1}}{(2n)!!} \, \frac{d^n}{d\lambda^n}(\lambda^2-1)^n\,d\lambda \\ &=\frac{\sqrt{2m+1}\sqrt{2n+1}}{2(2m)!!\, (2n)!!} \int_{-1}^{1}e^{t\lambda}\, \frac{d^m}{d\lambda^m}(\lambda^2-1)^m \, \frac{d^n}{d\lambda^n}(\lambda^2-1)^n\,d\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым теорема доказана. Следствие 3. Пусть $X_n(t)$, $X_n(0)=\delta_n$, — ветвящееся случайное блуждание по $\mathbf{Z}_+$, удовлетворяющее условиям теоремы $4$. Тогда для среднего числа частиц $N_n(t,m)$ в точке $m\in \mathbf{Z}_+$ справедливо асимптотическое равенство Доказательство. В работе [17] получена формула для представления произведения двух многочленов Лежандра в виде суммы многочленов Лежандра с некоторыми коэффициентами. В наших обозначениях эта формула примет вид где $g_n = (2n-1)!!/(2n)!!$.
Таким образом, требуется получить асимптотическое равенство для интеграла
$$
\begin{equation}
\int_{-1}^1\frac{e^{t\lambda}P_n(\lambda)}{\sqrt{2n+1}}\,d\lambda=\frac{1}{(2n)!!}\int_{-1}^1 e^{t\lambda} \, \frac{d^n}{d\lambda^n}(\lambda^2-1)^n\,d\lambda.
\end{equation}
\tag{23}
$$
К интегралу в правой части формулы (23) применим $n$ раз формулу интегрирования по частям, после чего сделаем тригонометрическую замену $\lambda = \cos\theta$. Получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{(2n)!!}\int_{-1}^1 e^{t\lambda} \, \frac{d^n}{d\lambda^n}(\lambda^2-1)^n\,d\lambda &= \frac{(-1)^nt^n}{(2n)!!}\int_{-1}^1 e^{t\lambda}(\lambda^2-1)^n\,d\lambda \nonumber \\ &= \frac{t^n}{(2n)!!}\int_0^\pi e^{t\cos\theta} \sin^{2n+1}{\theta}\,d\theta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Таким образом, задача сводится к исследованию интеграла
$$
\begin{equation*}
S_n(t)= \int_0^\pi e^{t\cos\theta} \sin^{2n+1}{\theta}\,d\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Для последовательности функций $S_n(t)$ имеют место следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
S_0(t) = \int_0^\pi e^{t\cos\theta} \sin\theta\,d\theta = \frac{e^t-e^{-t}}{t};
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
S_n''(t)=\int_0^{\pi} e^{t\cos\theta}\cos^2{\theta}\sin^{2n+1}{\theta}\,d\theta = S_n(t) - S_{n+1}(t).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Докажем утверждение относительно введенной последовательности функций $S_n(t)$. Утверждение. Справедливо соотношение где $A_n(t)$, $B_n(t)$ — многочлены с вещественными коэффициентами, причем $\deg A_n(t) = n$, и коэффициент многочлена $A_n(t)$ при $t^n$ равен $(2n)!!$. Доказательство. Проведем индукцию по $n\in\mathbf{Z}_+$.
Справедливость утверждения при $n=0$ следует из (25), а именно, $A_0(t)=1$. Пусть утверждение верно для $n\in\mathbf{Z}_+$. Воспользуемся формулой (26). В целях упрощения обозначений будем опускать аргумент $t$ у функций $A_n(t)$ и $B_n(t)$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S_{n+1}(t) =S_n(t) - S''_n(t) \\ &= \frac{A_ne^{t}+B_ne^{-t}}{t^{2n+1}} - \frac{(A''_n+2A'_n+A_n)e^t+(B''_n-2B'_n+B_n)e^{-t}}{t^{2n+1}} \\ &\qquad+2(2n+1)\frac{(A'_n+A_n)e^t+(B'_n-B_n)e^{-t}}{t^{2n+2}} \\ &\qquad-(2n+1)(2n+2) \frac{A_ne^{t}+B_ne^{-t}}{t^{2n+3}} \\ &=-\frac{(A''_n+2A'_n)e^t+(B''_n-2B'_n)e^{-t}}{t^{2n+1}} \\ &\qquad+2(2n+1) \frac{(A'_n+A_n)e^t+(B'_n-B_n)e^{-t}}{t^{2n+2}} \\ &\qquad-(2n+1)(2n+2)\frac{A_ne^{t}+B_ne^{-t}}{t^{2n+3}} \\ &=\frac{[2(2n+1)(A'_n+A_n)t-(A''_n+2A'_n)t^2-(2n+1)(2n+2)A_n]e^t}{t^{2n+3}} \\ &\qquad+\frac{[2(2n+1)(B'_n-B_n)t-(B''_n-2B'_n)t^2-(2n+1)(2n+2)B_n]e^{-t}}{t^{2n+3}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению индукции $A_n(t)$ является многочленом от переменной $t$ с вещественными коэффициентами, поэтому функция $A_{n+1}(t)$ (сомножитель $e^t$) также является многочленом от переменной $t$. Аналогичное утверждение справедливо для $B_{n+1}(t)$. Учитывая, что по предположению индукции $\deg A_n(t) = n$ и коэффициент при $t^n$ равен $(2n)!!$, получаем Утверждение доказано.Следствием данного утверждения является асимптотическое равенство
$$
\begin{equation}
S_n(t) = \int_0^\pi e^{t\cos\theta} \sin^{2n+1}{\theta}\,d\theta= \frac{(2n)!!\, e^t}{t^{n+1}} \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{27}
$$
Таким образом, собирая вместе формулы (22)–(24), (27), получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{-1}^1\frac{e^{t\lambda}P_n(\lambda)}{\sqrt{2n+1}}\,d\lambda =\frac{e^t}{t}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теорему 4 и тождество (20), приходим к окончательному результату:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N_n(t,m) = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{t\lambda}P_m(\lambda)P_n(\lambda)\,d\lambda \\ &=\frac{e^t\sqrt{2m\,{+}\,1}\sqrt{2n\,{+}\,1}}{2t}\sum_{k=0}^{\min{(m,n)}} \frac{2n\,{+}\,2m\,{-}\,4k\,{+}\,1}{2n\,{+}\,2m\,{-}\,2k\,{+}\,1}\, \frac{g_kg_{m-k}g_{n-k}}{g_{m+n-k}}\biggl(1\,{+}\,O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr) \\ &=\frac{e^t\sqrt{2m\,{+}\,1}\sqrt{2n\,{+}\,1}}{2t}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство следует из (22) при подстановке $\lambda=1$, а именно,
$$
\begin{equation*}
1 = \sum_{k=0}^{\min{(m,n)}} \frac{2n+2m-4k+1}{2n+2m-2k+1}\, \frac{g_kg_{m-k}g_{n-k}}{g_{m+n-k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lyu24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|