Размер популяции критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в неблагоприятной среде

Пусть $\{Z_n,\, n=0,1,\dots\}$ — критический ветвящийся процесс в случайной среде, и пусть $\{S_n,\, n=0,1,\dots\}$ — его сопровождающее случайное блуждание. Известно, что если распределение приращений этого случайного блуждания принадлежит (без центрирования) области притяжения устойчивого распределения, то существует правильно меняющаяся на бесконечности последовательность $a_1,a_2,\dots$ такая, что для любых $t\in (0,1]$ и $x\in (0,+\infty)$
\begin{align*} \lim_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(\frac{\ln Z_{nt}}{a_n}\leq x\biggm| Z_n>0\biggr) &= \lim_{n\to \infty}\mathbf{P}\biggl(\frac{S_{nt}}{a_n}\leq x\biggm| Z_n>0\biggr) \\ &=\mathbf{P}(Y_t^+\leq x), \end{align*}
где $Y_t^+$ — значение в точке $t$ извилины единичной длины некоторого строго устойчивого процесса. Мы дополняем этот результат описанием условных распределений соответствующим образом нормированных случайных величин $\ln Z_{nt}$ и $S_{nt}$ при условии $\{S_n\leq \varphi(n); Z_n>0\}$, где $\varphi(n)\to \infty$ при $n\to \infty$ так, что $\varphi(n)=o(a_n)$.