| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Предельное поведение порядковых статистик на длинах циклов случайных А. Л. Якымив Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991787 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $A$ — произвольное непустое подмножество множества натуральных чисел $\mathbf N$. Подстановки, длины циклов которых принадлежат множеству $A$, называются $A$-подстановками (см. монографию В. Н. Сачкова [16] или его же учебник [17]). Пусть $T_n=T_n(A)$ есть множество $A$-подстановок степени $n$ и $\tau_n$ — случайная подстановка, равномерно распределенная на $T_n$. Через $\zeta_{mn}$ обозначим число циклов подстановки $\tau_n$, имеющих длину $m\in \mathbf N$. Далее, пусть $\zeta_{n}$ — общее число циклов случайной подстановки $\tau_n$, т.е. Расположим длины циклов случайной подстановки $\tau_n$ в возрастающем порядке:
$$
\begin{equation}
\eta_n(1)\leqslant\eta_n(2)\leqslant\dots\leqslant\eta_n(\zeta_n).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Через $|X|$ мы будем везде далее обозначать число элементов конечного множества $X$. В настоящей статье мы будем предполагать, что множество $A$ имеет положительную асимптотическую плотность $\varrho$ в множестве натуральных чисел, т.е. существует предел
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\frac1{n}|\{k\colon k\in A,\, k\leqslant n\}|=\varrho>0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
а также что для произвольной константы $1<C<\infty$
$$
\begin{equation}
\frac1{n}|\{k\colon k\leqslant n,\, k\in A,\, m-k\in A\}|\to\varrho^2
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
равномерно по $m\in[n,Cn]$. В этих предположених доказана предельная теорема для $\eta_n(m)$ с номерами $m$, находящимися в левой и средней части этого ряда. Приводятся примеры, когда выполнены условия (1.2) и (1.3) (см. раздел 3). Задача исследования асимптотических свойств порядковых статистик (1.1) была предложена в статье Л. А. Шеппа и С. П. Ллойда [18] (1966 г.). Там же были изучены асимптотические свойства крайних левых и крайних правых членов этого ряда для случая $A=\mathbf N$. Соответствующее утверждение при $A=\mathbf N$ и $m=[\alpha\ln n]$ с постоянной $\alpha<\varrho$ доказано в книге В. Ф. Колчина [11]. Случаи, когда множество $A$ является конечным объединением непересекающихся арифметических прогрессий или дополнением к таким множествам, разобраны в статье Ю. В. Болотникова, В. Н. Сачкова и В. Е. Тараканова [3]. Предельная теорема для крайних правых членов указанного ряда доказана в работе [21]. Краткие обзоры результатов, полученных ранее для случайных $A$-подстановок, содержатся в работах [21]–[24]. Все указанные результаты восходят к основополагающей работе В. Л. Гончарова [7]. 2. Основной результатЗафиксируем действительное $x$ и положим при $m\in \mathbf N$ и $t>0$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A(t)=\{k\colon k\in \mathbf N,\, k\leqslant t\},\qquad l(t)=\sum_{i\in A(t)}\frac1{i}, \\ r=\exp\biggl(\frac{m}{\varrho}+x\,\frac{\sqrt{m}}{\varrho}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Теорема 1. Пусть выполнены соотношения (1.2) и (1.3), и пусть последовательность натуральных чисел $m=m(n)\to\infty$ такова, что для некоторого $\alpha\in(0,\varrho)$. Тогда Здесь и далее $\Phi(\,{\cdot}\,)$ есть стандартная нормальная функция распределения и $\Phi^{(k)}(\,{\cdot}\,)$ — ее $k$-я производная. Замечание 1. В предположениях теоремы 1 имеет место соотношение Таким образом, остаточный член в соотношении (2.3) оценивается величиной порядка $m^{-2}$. В частности, если $m\geqslant\theta\ln n$ для некоторого $\theta\in(0,\alpha)$, то этот остаток есть $O(\ln^{-2}n)$. 3. Примеры множеств $A$Приведем примеры множеств $A$, для которых выполнены соотношения (1.2) и (1.3). Обозначим через $\mathfrak A$ совокупность множеств $A$, удовлетворяющих (1.2) и (1.3) для каких-либо чисел $\varrho$ (каждое для своего). Пример 1 (см. [22; разд. 3.5]). Пусть заданы конечное объединение $\Delta$ отрезков из $[0,1]$ и функция $g(t)=t^\alpha L(t)$, $t>0$, где функция $L(t)$ медленно меняется на бесконечности, а число $\alpha$ — положительное и нецелое. Мы будем включать число $n\in \mathbf N$ в множество $A$ тогда и только тогда, когда $\{g(n)\}\in\Delta$ (здесь и далее через $\{\,{\cdot}\,\}$ мы обозначаем дробную часть числа). Если для каждого $m=1,2,\dots,[\alpha]+3$ Аналогичный пример имеет место и для натуральных показателей $\alpha$, однако он формулируется сложнее, так как здесь нужно исключить случай $L(t)\to c\in (0,\infty)$ (см., например, [22; разд. 3.5]). В действительности множество $A$ не обязано быть детерминированным. В качестве иллюстрации приведем следующий пример. Пример 2 (см. [22; разд. 3.6]). Пусть множество $A$ — случайно, причем случайные величины $\xi_n=\chi\{n\in A\}$, $n\in \mathbf N$, независимы в совокупности и $\mathbf{P}\{\xi_n=1\}\to\varrho>0$ при $n\to\infty$, $n\in B$ для некоторого множества $B\subseteq \mathbf N$ асимптотической плотности $1$. Тогда $A\in\mathfrak A$ с вероятностью $1$. (Здесь и далее $\chi\{\,{\cdot}\,\}$ есть индикатор.) Для доказательства теоремы 1 мы используем некоторое усиление результата Э. Манставичюса 2010 г. [12], которое приведено в следующем разделе. Речь там идет об оценке расстояния по вариации между цикловой структурой подстановки $\tau_n$ и соответствующей последовательностью независимых пуассоновских случайных величин. Также мы существенно используем работу Б. И. Девятова [5] (1969 г.) о приближении пуассоновского распределения нормальным. Этот результат является в некотором смысле продолжением докторской диссертации Л. Н. Большева о преобразовании случайных величин (автореферат см. в статье [4], 1967 г.). 4. Оценка расстояния по вариацииВ работе Э. Манставичюса [12] показано, что для расстояния по вариации $d_{\mathrm{TV}}$ (the total variance distance) и произвольной последовательности $r=o(n)$, $n\to\infty$, имеет место сходимость
$$
\begin{equation*}
d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathfrak L(\zeta_{mn},m\in A(r)),\mathfrak L(\eta_{m},m\in A(r))\bigr)\to0, \qquad n\to\infty
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь $\eta_1,\eta_2,\dots$ — последовательность независимых пуассоновских случайных величин, $\mathbf E\eta_i=1/i$, причем $\mathfrak L$ обозначает распределение соответствующих случайных величин и $A(r)=\{k\colon k\in A,\, k\leqslant r\}$). Напомним, что расстояние по вариации между двумя случайными векторами $X$ и $Y$, принимающими значения из $\mathbf Z^k_+=\{(x_1,\dots,x_k)\colon x_i\in \mathbf N\cup\{0\}\ \forall\, i=1,\dots,k\}$, есть
$$
\begin{equation*}
d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathfrak L(X),\mathfrak L(Y)\bigr)=\sup_{B\subseteq \mathbf Z^k_+}|\mathbf{P}\{X\in B\} -\mathbf{P}\{Y\in B\}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Применительно к нашему случаю, в упомянутой работе Манставичюса доказано, что в предположениях теоремы 1 существует положительная постоянная $a$ такая, что
$$
\begin{equation}
d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathfrak L(\zeta_{mn},m\in A(r)),\mathfrak L(\eta_{m},m\in A(r))\bigr)=O(1)\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^a
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
равномерно по $r\in[1,n]$. При этом явный вид постоянной $a$ в [12] не найден — указано только, что она “достаточно малая”. В настоящей заметке, используя метод работы [12], мы конкретизируем вид этой постоянной. А именно, справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполнены соотношения (1.2) и (1.3). Положим 5. Вспомогательные утвержденияВ настоящем разделе приводятся некоторые вспомогательные утверждения, часть из которых уже известна. Доказательства оставшейся части утверждений даются в следующем разделе. Введем при целых $0\leqslant l\leqslant m$ случайные величины
$$
\begin{equation}
\theta_{lm}=\sum_{i\in(l,m]\cap A}i\eta_i,\quad \theta_{m}=\theta_{0m}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
(мы полагаем $\theta_{lm}=0$ при $(l,m]\cap A=\varnothing$). Лемма 1. Справедливо следующее равенство: Доказательство леммы см. в [1; с. 69]. Пусть есть доля $A$-подстановок во всем множестве $S_n$ подстановок степени $n$. Следующая лемма уточняет лемму 2 из [12]. Лемма 2 [22; теорема 3.3.1] . Пусть выполнены соотношения (1.2) и (1.3). Тогда для произвольного фиксированного $\varepsilon>0$ при достаточно больших $n$ имеют место неравенства При $r,n\in \mathbf N$, $r\leqslant n$, положим
$$
\begin{equation*}
F(s)=\exp\biggl(\sum_{j\in A(n)\setminus A(r)}\frac{s^j}{j}\biggr),\qquad F_k=[s^k]F(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $F_k$ есть коэффициент при $s^k$ у производящей функции $F(s)$ (зависимость этой производящей функции и ее коэффициентов $F_k$ от $r$ и $n$ будем опускать). Также при $t>0$ положим
$$
\begin{equation*}
e_t=\exp\biggl(-\sum_{j\in A(t)}\frac{1}{j}\biggr)=\exp\bigl(-l(t)\bigr), \qquad A(t)=A\cap[1,t].
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3. В предположениях теоремы 1 существуют постоянные $C$, $C_1$ и $\delta_0$ такие, что при $\delta\in(0,\delta_0)$ и $T=C(\delta n)^{-1}<1$ Положим $T=C(\delta n)^{-1}$ , а также
$$
\begin{equation*}
J=\frac{1}{2\pi im}\int_{|t|\leqslant T}\frac{F'(z)G(z)}{z^m}\,dz, \qquad G(z)=\exp\biggl(-\alpha\sum_{j\in A(n)\setminus A(K)}\frac{z^j}{j}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=e^{it}$ и число $K=K(n)$ таково, что $1\leqslant\max(n\delta,N)<K\leqslant n$. Лемма 5. В предположениях теоремы 1 существуют постоянные $n_0\in \mathbf N$ и $\delta_0\in(0,1/2]$ такие, что для всех $\delta\in[1/n,\delta_0],\ n\geqslant n_0$ и $\eta\in [0, 1/2]$ имеет место соотношение 6. Доказательства вспомогательных утверждений Доказательство леммы 3. Пусть $\tau\in(0,1/2)$. Положим Точно так же, как в лемме 3 из [12], получаем, что для некоторой постоянной $C_1$ выполнены соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{\delta n}(t) &=\sum_{j\in A,\,\delta n<j\leqslant n}\frac{1-\cos(tj)}{j} \geqslant \lambda\biggl(\varrho_0-\frac{\arccos(1-\lambda)}{\pi}\biggr)\ln\frac1{\delta}-C_1 \\ &=\bigl(1-\cos(\pi\tau)\bigr)(\varrho_0-\tau)\ln \frac1{\delta}-C_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оптимизируем последнее неравенство по $\tau$. Тогда
$$
\begin{equation*}
S_{\delta n}(t)\geqslant \bigl(1-\cos(\pi\varphi)\bigr)(\varrho_0-\varphi)\ln \frac1{\delta}-C_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.3) следует, что $\varphi<\varrho_0$. Поэтому с учетом последнего неравенства получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{|F(\exp(it))|}{p(n)} =e_r\exp\biggl(\sum_{n\geqslant j>r}\frac{\cos(tj)-1}{j}\biggr) \leqslant e_r\exp(-S_{\delta n}(t))\leqslant e^{C_1}\biggl(\frac{1}{\delta}\biggr)^{c_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что постоянная $c_1$ определена в (5.5). Лемма доказана. Доказательство леммы 4. Эта лемма следует из леммы 6 в [12] путем оптимизации постоянной $\alpha(1-\alpha)/(\alpha\varrho_0+1)$ по $\alpha\in(0,1)$, которая там использовалась. Доказательство леммы 5 проводится аналогично доказательству предложения из [12]. Единственное отличие состоит в том, что вместо лемм 2, 3, 6 из [12] мы используем их уточнения из настоящей статьи (леммы 2, 3 и 4 соответственно). 7. Доказательства теорем 1 и 2Сначала докажем теорему 2, а затем выведем теорему 1 из теоремы 2. Доказательство теоремы 2. Из определения (5.1) случайных величин $\theta_{rn}$ и $\theta_{n}$ легко получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbf{P}\{\theta_{rn}=n-m\}}{\mathbf{P}\{\theta_{n}=n\}}=\frac{F_{n-m}}{e_rp(n)}
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [12; равенства (13)]). Пусть постоянные $\delta_0$, $n_0$ и $c$ — те же, что в лемме 5. Для $n\geqslant n_0$ и $1\leqslant r\leqslant \delta_0^{2(1+c)}n$ положим
$$
\begin{equation*}
\eta=\sqrt{\frac{r}{n}},\qquad \delta=\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^{1/(2(1+c))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последних двух соотношений и леммы 5 получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mathbf{P}\{\theta_{rn}=n-m\}}{\mathbf{P}\{\theta_{n}=n\}}-1 &=\frac{F_{n-m}}{e_rp(n)}-1 =O\biggl(\biggl(\sqrt{\frac{r}{n}} + \frac{r}{n}\biggr)\delta^{-1}+\delta^c\biggr) \\ &=O\biggl(\sqrt{\frac{r}{n}}\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^{-1/(2(1+c))} +\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^{c/(2(1+c))}\biggr) \\ &=O\biggl(\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^{1/2-1/(2(1+c))} +\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^{c/(2(1+c))}\biggr) \\ &=O\biggl(\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^{c/(2(1+c))}\biggr) =O\biggl(\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^a\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по Слагаемые для $m>\sqrt{rn}$ вносят в (5.2) вклад не больший, чем
$$
\begin{equation*}
(rn)^{-1/2}\mathbf{E}\theta_r=(rn)^{-1/2}\sum_{j\in A,\, j\leqslant r}1\leqslant r(rn)^{-1/2}=\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате, с учетом (5.2), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathfrak L(\zeta_{mn},m\in A(r)),\mathfrak L(\eta_{m},m\in A(r))\bigr) \\ &\qquad=O\biggl(\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^a+\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^{1/2}\biggr) =O\biggl(\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^a\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $r\leqslant n$, так как $a=c/(2(1+c))<1/2$. Теорема доказана. Доказательство теоремы 1. Зафиксируем произвольное действительное $x$. Если $m\leqslant\alpha\ln n$ для некоторого $\alpha\in(0,\varrho)$, то из последнего равенства в (2.1) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{r}{n} &=\exp\biggl(\frac{m}{\varrho}+x\, \frac{\sqrt{m}}{\varrho}-\ln n\biggr)\leqslant\exp\biggl(\frac{m}{\varrho}+|x|\, \frac{\sqrt{m}}{\varrho}-\ln n\biggr) \nonumber \\ &\leqslant\exp\biggl(\frac{\alpha}{\varrho}\ln n+\frac{|x|}{\varrho}\sqrt{\alpha\ln n}-\ln n\biggr) \nonumber \\ &=\exp\biggl(\biggl(\frac{\alpha}{\varrho}-1\biggr)\ln n+\frac{|x|\sqrt{\alpha}}{\varrho}\sqrt{\ln n}\biggr)=n^{-\beta}L_x(n), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
L_x(n)=\exp\biggl(\frac{|x|\sqrt{\alpha}}{\varrho}\sqrt{\ln n}\biggr),\qquad \beta=1-\frac{\alpha}{\varrho}>0.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
При $t\in \mathbf N$ положим
$$
\begin{equation*}
\zeta_{n}(t)=\sum_{k\in A,\, k\leqslant t}\zeta_{kn}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая это обозначение, из последнего равенства в (2.1) получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\{\varrho\ln\eta_n(m)\leqslant m+x\sqrt{m}\,\} =\mathbf{P}\{\eta_n(m)\leqslant [r]\} =\mathbf{P}\{\zeta_n([r])\geqslant m\}.
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Если выполнены предположения теоремы 1, то, согласно теореме 2, для числа $a>0$, указанного в (4.2), имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\{\zeta_n([r])\geqslant m\}=\mathbf{P}\{\zeta([r])\geqslant m\} +O\biggl(\biggl(\frac{r}{n}\biggr)^a\biggr).
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Здесь случайная величина $\zeta([r])$ имеет пуассоновское распределение с параметром $l(r)=l([r])$, где функция $l(\,{\cdot}\,)$ определена в (2.1). Из (7.1)–(7.4) следует, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\{\zeta_n([r])\geqslant m\}=\mathbf{P}\{\zeta([r])\geqslant m\}+O\bigl(n^{-a\beta}(L_x(n))^a\bigr).
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Согласно нормальной аппроксимации Л. Н. Большева распределения статистики $\chi^2$ и ее связи с пуассоновским распределением, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}\{\zeta([r])\geqslant m\}=1-\mathbf{P}\{\zeta([r])< m\} \nonumber \\ &\qquad=\Phi(z)-\frac{1}{405\,l^{3/2}(r)}\bigl(10\Phi^{(3)}(z)+\Phi^{(5)}(z)\bigr) +O\biggl(\frac{1}{l^2(r)}\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
(см. соотношение (14) в работе Б. И. Девятова [5]). При этом величина $z$ определяется формулами (2.4) и (2.5). Соотношение (2.3) следует из (7.5) и (7.6). Теорема доказана. Обоснуем замечание 1. Как известно, из существования асимптотической плотности множества $A$ следует существование его логарифмической плотности и их равенство (см. [14; разд. 3.1]). Согласно (1.2) асимптотическая плотность множества $A$ существует и равна $\varrho$. Поэтому из (2.1) получаем требуемое:
$$
\begin{equation*}
l(r)=\sum_{j\in A(r)}\frac{1}{j}\sim \varrho\ln r=m+x\sqrt{m}\sim m.
\end{equation*}
\notag
$$
8. Два замечания Замечание 2. Пусть выполнены соотношения (1.2) и (1.3). Зафиксируем $m,k\in \mathbf{N}$. Тогда В самом деле, точно так же, как в (7.4), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}\{\zeta_n(k)\geqslant m\} &=\mathbf{P}\{\zeta(k)\geqslant m\} +O\biggl(\biggl(\frac{k}{n}\biggr)^a\biggr) \nonumber \\ &=\mathbf{P}\{\zeta(k)\geqslant m\}+O\biggl(\biggl(\frac{1}{n}\biggr)^a\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
где $\zeta(k)$ имеет пуассоновское распределение с параметром $l(k)$. Поэтому оценка (8.1) следует из (8.2) и (8.3). Рассмотрим следующие два класса множеств $A$. Через $\mathfrak A_1$ обозначим совокупность множеств $A$, представимых в виде $A=\bigcup_{i=1}^MA_i$, где $M\in \mathbf{N}$, $A_i=\{m\in \mathbf{N}\colon m=a_ik+b_i,\, k=0,1,2,\dots\}$ и натуральные числа $a_i$ и $b_i$ таковы, что $a_i>1$, $1\leqslant b_i\leqslant a_i-1$, $(a_i,b_i)=1$, причем прогрессии $A_i$ и $A_j$ при $i\neq j$ не пересекаются. Через $\mathfrak A_2$ обозначим совокупность множеств $A$, представимых в виде $A=\{m\in \mathbf N\colon k_i\nmid m,\, i=1,\dots,s\}$ для некоторых $s\in \mathbf N$ и $k_1,\dots,k_s\in \mathbf N$ таких, что $k_i\geqslant2$, $i=1,\dots,s$, и $(k_i,k_j)=1$ при $i\neq j$. Из результатов упомянутой во введении работы Ю. В. Болотникова, В. Н. Сачкова и В. Е. Тараканова [3] для множеств $A$ из $\mathfrak A_1\cup\mathfrak A_2$ легко выводится сходимость к стандартному нормальному закону последовательности случайных величин $(\varrho\ln\eta_n(m)-m)/\sqrt{m}$. В качестве уточнения этого утверждения имеет место следующее. Замечание 3. Пусть $A\in \mathfrak A_1\cup\mathfrak A_2$. Тогда для множества $A$ справедливо соотношение (2.3). (Здесь, как и в теореме 1, величина $z$ определяется из равенств (2.4) и (2.5), а величина $l(r)$ определяется из соотношений (2.1).) Обоснование этого замечания аналогично доказательству теоремы 1. Единственное отличие состоит в том, что вместо теоремы 2 нужно сослаться на теорему 1 из следующей работы Э. Манставичюса по этой тематике [13]. Тем не менее, с каким показателем $a$ гарантировано степенное убывание соответствующей оценки из [13], еще предстоит выяснить. 9. Некоторые обобщения понятия случайных $A$-подстановокСкажем несколько слов по поводу обобщений понятия случайных $A$-подстановок, известных автору. Через $S_n$ обозначим совокупность перестановок множества из $n$ элементов. Пусть заданы некоторые неотрицательные параметры $\theta_i\geqslant0$, $i\in \mathbf N$ (тривиальный случай $\theta_i\equiv0$ исключается), и пусть $\lambda_n$ — произвольная фиксированная подстановка из $S_n$ с $u_i$ циклами длины $i$, $i = 1, \dots,n$. В работах [8], [9] введена так называемая общая параметрическая модель случайной подстановки, в которой подстановка $\lambda_n$ наблюдается с вероятностью, пропорциональной $\theta_1^{u_1}\cdots\theta_n^{u_n}$. Такая модель служит обобщением как понятия случайной $A$-подстановки ($\theta_i=\chi\{i\in A\}$, $i=1,2,\dots$), так и известного понятия случайной подстановки в схеме Эвенса [6], в которой $\theta_i\equiv\theta>0$. В статье [10] изучается частная модель из [8], [9] с $m$ параметрами и приводится большое число примеров, включающих классические. Мы здесь выделим следующую двухпараметрическую модель. При $B\subseteq \mathbf N$ положим $c(n,B)=\sum_{i\in B,\, i\leqslant n}u_i$. В этой модели подстановка $\lambda_n$ наблюдается с вероятностью, пропорциональной $\theta_1^{c(n,A)}\theta_2^{c(n,\overline{A})}$ (здесь $\overline{A}=\mathbf N\setminus A$). Если в этой модели случайной подстановки положить $\theta_1=\theta\chi\{i\in A\}$, где $\theta>0$, и $\theta_2=1$, то приходим к модели случайной $A$-подстановки с (вообще говоря) неравномерным распределением на множестве $A$-подстановок степени $n$. Таким образом, изучаемая в настоящей статье модель случайной $A$-подстановки получается при $\theta=1$. В случае отображений множества из $n$ элементов в себя можно выделить следующие обобщения понятия $A$-подстановок. Одно из них появилось еще раньше самих $A$-подстановок [15] (отображения с ограничениями на контур и высоту). Дальнейшее обобщение этой модели предложено в учебнике [17] (так называемые $AB$-отображения). Кроме этого, в [19], [20] рассмотрены отображения, объемы компонент которых принадлежат множеству $A$. По поводу дальнейших обобщений см. упомянутые в начале этого раздела статьи [8], [9] (случайные ансамбли), а также книгу [1] (случайные комбинаторные структуры). Тем не менее отметим, что в книге [1] при доказательстве предельных теорем рассматривался некоторый подкласс этих структур (так называемые логарифмические структуры), который не включал в себя случайные $A$-подстановки. И, наконец, отметим, что в цитируемых ранее работах [12], [13] и дальнейших работах этого автора были рассмотрены более широкие классы структур, включающих в себя и $A$-подстановки. БлагодарностиАвтор признателен рецензенту за ценные замечания. В частности, они позволили обнаружить ошибку в формулировках теорем 1 и 2 (одну и ту же). Также эти замечания дали возможность избежать ряда неточностей в рукописи и улучшить изложение. Автор благодарит профессора В. В. Ульянова, дополнившего список литературы ссылкой на статью Р. Арратиа, Л. Голдштейна и Л. Гордона [2] о пуассоновской аппроксимации и методе Чена–Стейна. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Yak24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|