|
A maximal theorem of Hardy–Littlewood type for pairwise i.i.d. and the law of large numbers
T. Nguyen, H. Pham School of Mathematics and Statistics, Victoria University of Wellington, Wellington, New Zealand
Аннотация:
Пусть $p\in [1,2)$. Мы покажем, что если $(X_n)_{n=1}^\infty$ — последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин с $\mathbf{E}|X_1|^p<\infty$, то
$$
\mathbf{P}\biggl[\sup_n\biggl|\frac{S_n}{n^{1/p}}\biggr|> \alpha\biggr]\le \frac{C_p\,\mathbf{E}|X_1|^p}{\alpha^p}\quad\text{для любого } \alpha>0,
$$
где $C_p$ – некоторая константа, зависящая от $p$, и $S_n:=\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbf{E}X_i)$. При доказательстве мы воспользовались следствием более общего утверждения, в котором требовалось только, чтобы последовательность $(X_n)$ была слабо коррелирована в смысле Рио. Мы докажем неравенство, дающее скорость сходимости $\lim_{n\to\infty}|S_n|/{n^{{1}/{p}}}=0$ п.н., и таким образом усилим основной результат [E. Rio, “Vitesses de convergence dans la loi forte pour des suites dépendantes”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 320:4 (1995), 469–474].
Ключевые слова:
одинаково распределенные попарно независимые случайные величины, закон больших чисел, теорема Харди–Литтлвуда.
Поступила в редакцию: 09.04.2019 Исправленный вариант: 28.01.2021
Образец цитирования:
T. Nguyen, H. Pham, “A maximal theorem of Hardy–Littlewood type for pairwise i.i.d. and the law of large numbers”, Теория вероятн. и ее примен., 66:3 (2021), 552–564; Theory Probab. Appl., 66:3 (2021), 445–454
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tvp5313https://doi.org/10.4213/tvp5313 https://www.mathnet.ru/rus/tvp/v66/i3/p552
|
|