О больших и сверхбольших уклонениях сумм независимых случайных векторов при выполнении условия Крамера. I

Исследуется асимптотика вероятности попадания суммы независимых одинаково распределенных случайных векторов в малый куб с вершиной в точке $x$ в следующих двух случаях.
A. Когда относительные (нормированные) уклонения $x/n$ ($n$ — число слагаемых в сумме) находятся в области аналитичности функции уклонений $\Lambda(\alpha)$ слагаемого (если при этом $|x|/n\to\infty$, то говорят о сверхбольших уклонениях).
B. Когда имеет место альтернативная возможность, т.е. $x/n$ располагается вне области аналитичности функции $\Lambda(\alpha)$.
В задачах A, B асимптотика вероятностей сверхбольших уклонений (когда $|x/n|\to\infty$), так же как асимптотика вероятностей “обычных” больших уклонений в задаче B (когда $x/n$ отделено от математического ожидания слагаемого и сравнимо с константой), во многом оставалась не изученной. Настоящая работа, состоящая из двух частей, посвящена, главным образом, решению задачи A для сверхбольших уклонений.
В части I приводится решение задачи A в общем многомерном случае. При этом в качестве первого шага используется преобразование Крамера, позволяющее свести задачу о сверхбольших уклонениях исходной суммы к задаче о нормальных уклонениях суммы преобразованных векторов. Затем используется интегро-локальная или локальная теорема для сумм случайных векторов в схеме серий в области нормальных уклонений. Нужные версии этих теорем содержатся в [11] и в § 5. В части I приведена также схема решения задачи B, которой будет посвящена отдельная работа.
Если распределение суммы в некоторой окрестности точки $x$ абсолютно непрерывно, то изучается асимптотика соответствующей плотности в этой точке.