On some limit theorems similar to the arc-sin law

Пусть $Y_1,Y_2,\dots$ — последовательность неотрицательных, взаимно независимых, одинаково распределенных случайных величин. Для произвольной последовательности $X_1,X_2,\dots$ взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин, независимых от $Y_1,Y_2,\dots$ и таких, что $\mathbf E|X_i|<\infty$, $\mathbf EX_1=0$, составляется последовательность
$$ R_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_iY_i}{\sum_{i=1}^nX_i}. $$

Доказывается, что $R_n$ сходится по вероятности к нулю тогда и только тогда, когда симметрический квадратный корень из $Y_1$ принадлежит области притяжения нормального закона. $R_n$ сходится по распределению к невырожденному распределению, отличному от распределения величины $X_1$ тогда и только тогда, когда $Y_1$ принадлежит области притяжения устойчивого закона с показателем $\alpha$, меньшим единицы. Указываются также необходимые и достаточные условия для сходимости по распределению величин $\max(Y_1,\dots,Y_n)\bigl/\sum_{i=1}^nY_i$.