First-passage times over moving boundaries for asymptotically stable walks

Пусть $\{S_n,\, n\geq1\}$ — случайное блуждание с независимыми одинаково распределенными приращениями и пусть $\{g_n,\,n\geq1\}$ — последовательность действительных чисел. Обозначим через $T_g$ первый момент, когда $S_n$ выходит из $(g_n,\infty)$. Предположим, что случайное блуждание — осциллирующее и асимптотически устойчивое, т.е. существует последовательность $\{c_n,\,n\geq1\}$ такая, что $S_n/c_n$ сходится к устойчивому закону. В этой статье мы определим поведение хвоста $T_g$ для всех осциллирующих, асимптотически устойчивых блужданий и всех граничных последовательностей, удовлетворяющих $g_n=o(c_n)$. Далее, мы докажем, что масштабированное случайное блуждание, при условии непересечения границы до времени $n$, сходится при $n\to\infty$ к устойчивому меандру.