Об одной характеризационной теореме для вероятностных распределений на дискретных абелевых группах

Пусть $X$ — счетная дискретная абелева группа, не содержащая элементов порядка 2, $\alpha$ — автоморфизм $X$, а $\xi_1$ и $\xi_2$ — независимые случайные величины со значениями в $X$ и с распределениями $\mu_1$ и $\mu_2$. Основной результат работы состоит в следующем. Для того чтобы из симметрии условного распределения линейной формы $L_2=\xi_1+\alpha\xi_2$ при фиксированной $L_1=\xi_1+\xi_2$ вытекало, что $\mu_j$ — сдвиги распределения Хаара некоторой конечной подгруппы группы $X$, необходимо и достаточно, чтобы $\alpha$ удовлетворял условию $\operatorname{Ker}(I+\alpha)=\{0\}$. Эта теорема является аналогом для дискретных абелевых групп известной теоремы Хейде, в которой гауссовское распределение на вещественной прямой характеризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых случайных величин при фиксированной второй. Доказаны также некоторые обобщения этой теоремы.