О порядке случайной подстановки с весами циклов

Пусть $\operatorname{Ord}(\tau)$ — порядок элемента $\tau$ из группы $S_n$ перестановок множества $X$ из $n$ элементов. В настоящей статье рассматривается так называемая общая параметрическая модель случайной подстановки, согласно которой произвольная фиксированная подстановка $\tau$ из $S_n$ наблюдается с вероятностью, равной $\theta_1^{u_1}\dotsb\theta_n^{u_n}/H(n)$, где $u_i$ — число циклов длины $i$ подстановки $\tau$, а $\{\theta_i,\ i\in \mathbf{N}\}$ — некоторые неотрицательные параметры, называемые весами циклов длины $i$ подстановки $\tau$, причем $H(n)$ — соответствующий нормирующий множитель. Пусть случайная подстановка $\tau_n$ имеет указанное распределение. Предполагается, что функция $p(n)=H(n)/n!$\enskip $\mathrm{RO}$-меняется на бесконечности с нижним показателем, большим $-1$ (в частности, она может правильно меняться) и последовательность $\{\theta_i,\ i\in \mathbf N\}$ ограничена. При этих предположениях показано, что случайная величина $\ln\operatorname{Ord}(\tau_n)$ асимптотически нормальна со средним $\sum_{k=1}^n\theta_k\ln k/k$ и дисперсией $\sum_{k=1}^n\theta_k\ln^2k/k$. В частности, в эту схему вписывается класс случайных $A$-подстановок, т.е. когда $\theta_i=\chi\{i\in A\}$, где $A$ — произвольное фиксированное множество натуральных чисел. Также сюда входит модель Эвенса случайной подстановки, в которой $\theta_i\equiv\theta>0$ для любого $i\in\mathbf N$. Доказанная предельная теорема обобщает некоторые результаты, полученные ранее в этих схемах. В частности, при $\theta_i\equiv1$ для любого $i\in\mathbf N$ из сформулированного утверждения следует известная предельная теорема Эрдёша–Турана.