Quantifying minimal noncollinearity among random points

Пусть $\varphi_{n,K}$ обозначает наибольший угол во всех треугольниках с вершинами среди $n$ точек, выбранных наудачу в компактном выпуклом множестве $K$ с непустой внутренностью в пространстве $\mathbf{R}^d$, где $d\ge2$. Показано, что распределение случайной величины $\lambda_d(K)n^3(\pi-\varphi_{n,K})^{d-1}/3!$, где $\lambda_d(K)$ — некоторое положительное вещественное число, зависящее только от размерности $d$ и формы выпуклого множества $K$, сходится к стандартному показательному распределению при $n\to\infty$. Используя штейнеровскую симметризацию, также показано, что коэффициент $\lambda_d (K)$, который называется в статье продолговатостью множества $K$, достигает своего минимума тогда и только тогда, когда $K$ является шаром $B^{(d)}$ в $\mathbf {R}^d$. Наконец, определяется асимптотика $\lambda_d(B^{(d)})$ для больших $d$.