Об оценивании параметров в случае разрывных плотностей

Рассматривается задача об оценивании параметра в случае, когда плотность $f_\theta(x)$ распределения $\mathbf{P}_\theta$ элементов выборки $\mathrm X$ объема $n$ имеет по крайней мере одну точку разрыва $x(\theta)$, $x'(\theta)\neq 0$. Предполагается, что либо (a) из априорных соображений можно указать локализацию параметра $\theta$ (или точки разрыва), удовлетворяющую легко проверяемым условиям, либо (b) существует состоятельная оценка $\widetilde{\theta}$ параметра $\theta$ (построенная, возможно, по той же выборке $\mathrm{X}$), что также дает некоторую локализацию. Тогда по сегменту эмпирической функции распределения, определенному локализацией, с помощью простого правила строится семейство оценок $\theta^*_{g}$, зависящее от параметра $g$, такое, что 1) вероятности $\mathbf{P}(\theta^*_{g}-\theta>v/n)$ и $\mathbf{P}(\theta^*_{g}-\theta<-v/n)$ при достаточно больших $n$ допускают явные экспоненциальные по $v$ оценки; 2) в случае (b) при выполнении соответствующих условий (см. условия I–IV в \cite[гл. 5]{1}, где исследованы оценки максимального правдоподобия) можно указать значение $g$, при котором оценка $\theta^*_{g}$ асимптотически эквивалентна оценке максимального правдоподобия $\widehat{\theta}$, т.е. $\mathbf{P}_\theta(n(\theta^*_{g}-\theta)>v)\sim \mathbf{P}_\theta(n(\widehat{\theta}-\theta)>v)$ при каждом $v$ и $n\to\infty$; 3) значение $g$ можно выбрать так, что возможно $\mathbf{E}_\theta(\theta^*_{g}-\theta)^2< \mathbf{E}_\theta(\widehat{\theta}-\theta)^2$ при достаточно больших $n$. При этом никаких условий гладкости на $f_\theta(x)$ по существу не накладывается. При наличии «вспомогательной» состоятельной оценки $\widetilde{\theta}$ найдены простые правила отыскания оценок $\theta^*_g$, асимптотически эквивалентных $\widehat{\theta}$. Изучено предельное распределение $n(\theta^*_g-\theta)$ при $n\to\infty$.