The siblings of the coupon collector

Относительно недавно значительный интерес привлекла к себе следующая версия задачи о коллекционере. Есть один основной коллекционер, собирающий купоны. Предполагается, что купоны принадлежат к $N$ различным типам, которые встречаются, вообще говоря, с разными вероятностями. Когда у основного коллекционера появляется «дубль», она отдает его старшему из братьев; когда у этого брата появляется «дубль», он отдает его следующему по старшинству брату, и т. д. Таким образом, в тот момент, когда основной коллекционер соберет полную коллекцию, в альбоме $j$-го коллекционера, $j=2,3,\dots$, останется еще $U_j^N$ свободных мест. В настоящей статье мы развиваем технику нахождения асимптотики (в большинстве случаев трех первых членов и ошибки) среднего $\mathbf{E}[U_j^N]$ случайной величины $U_j^N$ при $N\to\infty$ для широкого класса семейств вероятностей появления купонов. Примечательно, что в некоторых случаях среднее $\mathbf{E}[U_j^N]$ для любого $j\ge2$ стремится при $N\to\infty$ к конечному пределу. Наши результаты охватывают ряд популярных распределений, таких как экспоненциальное, полиномиальное, логарифмическое и хорошо известный своими приложениями обобщенный закон Ципфа. Мы также формулируем гипотезу о максимуме величин $\mathbf{E}[U_j^N]$.