Экспоненциалы и $R$-возвратные случайные блуждания на группах

На локально компактной группе $E$ со счетной базой рассматривается правое случайное блуждание $X$, обладающее при некотором $r>0$ единственной (с точностью до положительного множителя) $r$-инвариантной мерой. Если последняя подчиняется некоторым слабым ограничениям, то случайному блужданию $X$ можно естественным образом поставить в соответствие единственный непрерывный экспоненциал на $E$. Отсюда выводится, что на группе $E$ можно реализовать какое-нибудь $R$-возвратное (по Твиди) случайное блуждание только в том случае, когда эта группа возвратна и, более того, когда на ней существует случайное блуждание, возвратное по Харрису.