Случайные подстановки с простыми длинами циклов

Рассматривается множество подстановок степени $n$, имеющих длины циклов, являющиеся простыми числами. Получена асимптотическая оценка числа всех таких подстановок при $n\to\infty.$ В предположении, что на множестве этих подстановок задано равновероятное распределение, получена локальная предельная теорема, оценивающая распределение числа циклов $\nu_n$ в случайно выбранной подстановке; из этой теоремы, в частности, следует, что при $n\to\infty$ случайная величина $\nu_n$ асимптотически нормальна с параметрами ($\ln\ln n$, $\ln\ln n$). Показано, что случайная величина $\nu_n(p)$ ($p$ — простое число), равная числу циклов фиксированной длины $p$ в такой подстановке, имеет в пределе распределение Пуассона с параметром ${1}/{p}.$ Считая, что подстановка степени $n$ выбирается случайно равновероятно из класса всех подстановок с простыми длинами циклов, каждая из которых имеет ровно $N$ циклов $(1\le N\le[{n}/{2}]),$ получены предельные теоремы, оценивающие распределение случайной величины $\mu_p(n, N),$ равной числу циклов простой длины $p$ в этой подстановке. Для вывода изложенных результатов используется асимптотический закон распределения простых чисел и применяется метод перевала, а также теория обобщенных схем размещения.