Плотность распределения коммутанта случайных вращений трехмерного евклидова пространства

На группе $SO(3)$ вращений трехмерного евклидова пространства определена базовая мера $\mu$, отвечающая произведению равномерных распределений на множествах осей поворотов и углов поворотов. Рассматриваются три плотности распределений относительно $\mu: \rho_0$ — плотность лево- и право-инвариантной меры (меры Хаара); $\rho_1$ — плотность распределения вращений $\Lambda^k, k\ge 2$, когда $\Lambda$ — случайное вращение с плотностью распределения $\rho_0$; $\rho_2$ — плотность распределения коммутанта $\Lambda_1^{-1}\Lambda_2^{-1}\Lambda_1\Lambda_2$, когда $\Lambda_1$, $\Lambda_2$ — случайные независимые вращения с плотностями распределения $\rho_0$. Показывается, что $\rho_2\equiv\sqrt{\rho_0\rho_1}{\pi\sqrt{2}}/{4}$, а мера $\mu_1$ с плотностью $\rho_1$ пропорциональна базовой мере $\mu$.