On Relations Between Strict-Sense and Wide-Sense Conditional Expectations

В статье исследуются отношения между условными математическими ожиданиями в узком смысле (т. е. обыкновенными условными математическими ожиданиями) и в широком смысле (т. е. проекциями гильбертова пространства $L_2$ на некоторое замкнутое линейное подпространство), как они определены Дубом [3].
Пусть $(X,F,\mu)$ – пространство вероятностей и $G\subset F$ – некоторая $\sigma$-алгебра. Обозначим $L_2(G)$ систему всех $G$-измеримых случайных величин из $L_2$. Такие подпространства $L_2(G)$ мы будем называть с Багадуром [1] измеримыми подпространствами и проекции на них измеримыми проекциями.
Главным результатом статьи является следующая

Теорема 3. Система $\mathfrak{M}\subset L_2$ является измеримым подпространством тогда и толькo тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:
(0) $\mathfrak{M}$ – замкнутое линейное подпространство,
(1) $1\in\mathfrak{M}$,
(2) если $f\in\mathfrak{M}$, $g\in\mathfrak{M}$, то $\max(f,g)\in\mathfrak{M}$.

В статьях, опубликованных до сих пор, пользуются операцией умножения двух функций, но она вводится только для ограниченных функций, чтобы устранить некоторые затруднения, с этим связанные. В отличие от этого в настоящей статье используется операция образования максимума двух функций, приведенная в условии (2). Это условие дает некоторые упрощения и естественно приводит к понятию банаховой структуры.
Далее изучаются расширения измеримых проекций на условные ожидания и проблемы непрерывности их отображения. Используя для условных ожиданий сходимость почти всюду и для проекций сходимость в $L_2$, приходим к следующему выводу: отображение условных ожиданий на измеримые проекции непрерывно, между тем как обратное отображение не непрерывно, как показывается примером.
Применяя основную теорему 3, приходим к новой системе условий, характеризующих условные математические ожидания как преобразования функционального пространства.