Предельная теорема для общего числа циклов случайной $A$-подстановки

Пусть $S_n$ — симметрическая группа подстановок степени $n$, $A$ — некоторое непустое подмножество множества натуральных чисел $\mathbf N$ и $T_n=T_n(A)$ — совокупность всех подстановок из $S_n$, длины циклов которых принадлежат множеству $A$. Подстановки из $T_n$ принято называть $A$-подстановками. Пусть $\zeta_n$ есть общее число циклов случайной подстановки, равномерно распределeнной на $T_n$. В статье найден подход, позволяющий исходя из асимптотики числа $A$-подстановок степени $n$ доказывать предельную теорему для $\zeta_n$. Предельная теорема для $\zeta_n$, полученная здесь, является новой в ряде случаев, когда известна асимптотика числа $A$-подстановок степени $n$, но предельная теорема для $\zeta_n$ другими методами ещe не доказана. Автором замечено, что в ряде работ различных авторов число $A$-подстановок степени $n$, делeнное на $n!$, представляет собой правильно меняющуюся по Карамата функцию с показателем $\sigma-1$, где $\sigma$ — асимптотическая плотность множества $A$ (положительная). Основной целью настоящей статьи является доказательство предельной теоремы для $\zeta_n$ именно при этом предположении, без каких-либо дополнительных ограничений, характерных для предыдущих исследований.