On Limit Laws for Random Vectors Connected in a Markov Chain

Пусть $v(1),v(2),\dots v(t),\dots$ последовательности случайных $s$-мерных векторов, связанных по схеме однородных цепей Маркова. Пусть далее
$$v^h=(v_1^h,v_2^h,\dots,v_s^h)\qquad(h=1,2,\dots,m)$$
возможные значения векторов $v(t)$ ($t=1,2,\dots)$
$$\mathbf P(v(t+1)=v^k|v(t)=v^h)=p_{hk},$$
где
$$p_{hk}\ge0\text{ и }\sum_{k=1}^m p_{hk}=1.$$

В статье изучается предельное распределение для сумм
$$w(t)=v(1)+v(2)+\cdots+v(t)$$
при $t\to\infty$. Устанавливается, что при некоторых общих условиях, после соответствующей центровки и нормировки случайный вектор $w(t)$ асимптотически будет нормально распределенным. Выясняются различные случаи вырождения в зависимости от соотношений между $s$ и $m$.