On the Sequence of Events, Selected by a Counter From a Recurrent Process of Events

Рассматривается последовательность случайных величин $\{t_n\}$, где $t_0=0$ и разности $t_n-t_{n-1}(n=1,2, \dots)$ являются положительными, независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения $F(x)$. При помощи некоторого счетчика из последовательности $\{t_n\}$ выбирается и регистрируется последовательность $\{t'_n\}$ по следующему правилу: 1) $t'_0=t_0=0$; 2) в момент $t_0$, в счетчике возникает импульс продолжительностью $\chi_0$; 3) если в момент $t_n(n\geq1)$ в счетчике импульса нет (все предшествующие импульсы кончились), то в этот момент с вероятностью $1$ возникает новый импульс; 4) если в момент $t_n(n\geq1)$ в счетчике импульс имеется, то новый импульс возникает с вероятностью $p$; 5) продолжительности импульсов $\chi_0,\chi_1,\chi_2,\dots$ образуют последовательность положительных, независимых, одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения $H(x)$ (может быть, и несобственной); 6) подпоследовательность $H(x)$ состоит из моментов возникновения тех импульсов, которые не перекрываются предшествующими импульсами. При $p=0$ указанная модель соответствует схеме работы счетчиков Гейгер–Мюллера, при $p=1$ – схеме работы электронных усилителей.
Последовательность $\{t'_n\}$ обладает свойствами, аналогичными свойствам последовательности $\{t_n\}$. Пусть $G(x)$ – неизвестная функция распределения для разностей $t'_n-t'_{n-1}$ ($n=1,2,3,\dots$). С помощью преобразований Лапласа в работе исследуется зависимость $G(x)$ от $F(x)$ для двух случаев:
а) когда $p=0$ или $p=1$;
б) когда $0\leq p\leq1$ и функция распределения $H(x)$ является несобственной.