A maximal inequality for real numbers with application to exchangeable random variables

Пусть $x=(x_1,\dots,x_n)$ – последовательность вещественных чисел такая, что $\sum^n_{i=1}x_i=0$, и пусть $\Theta=\{\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n):\theta_i=\pm1\}$. Мы доказываем, что для любых $\theta\in\Theta$ и $t\ge0$ справедливы неравенства
$$ \frac12\mathsf{P}\{|x_{\pi}|\ge38t\}\le\mathsf{P}\{|\theta\cdot x_{\pi}|\ge t\}\le\mathsf{P}\biggl\{|x_{\pi}|\ge\frac t2\biggr\}, $$
где $\mathsf{P}$ – равномерное распределение на группе $\{\pi\}$ всех перестановок чисел $\{1,\dots,n\}$, $x_{\pi}=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$, $\theta\cdot x_{\pi}=(\theta_1x_{\pi(1)},\dots,\theta_nx_{\pi(n)})$ и $|y|=\max_{1\le k\le n}\{|\sum^k_{i=1}y_i|\}$ для любого $y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n$.
Наше доказательство элементарно и автономно. В качестве следствия мы доказываем для случая вещественных чисел недавний результат Пруса [4]: если $X=(X_1,\dots,X_{2n})$ – перестановочная последовательность $2n$ вещественных случайных величин, то для любого $t>0$
$$ \mathsf{P}\biggl\{\max_{1\le j\le2n}\biggl|\sum^j_{i=1}X_i\biggr|>t\biggr\}\le16\mathsf{P}\biggl\{\biggl|\sum^n_{i=1}X_i\biggr|>\frac t{3420}\biggr\}. $$