A Commutativity Problem in the Theory of Markov Chains

Пусть $P$ – матрица переходных вероятностей, соответствующая цепи Маркова со счетным множеством состояний и пусть $\Pi$ будет $(C,1)$-пределом последовательности степеней матрицы $P$. Матрицы $P$ и $\Pi$ можно идентифицировать с ограниченными линейными операторами, действующими в банаховском пространстве $L$ абсолютно сходящихся рядов.
Обозначим $A$ какой-либо ограниченный линейный оператор в $L$, перестановочный с $P$. Тогда перестановочность операторов $\Pi$ и $A$ имеет место тогда и только тогда, когда либо а) $\Pi=0$, либо б) $\Pi$ является пределом при $n\to\infty$ (в смысле сходимости по норме) полиномов
$$\frac1{n}(P+P^2+\ldots+P^n).$$

Свойство перестановочности всегда выполняется, если множество состояний цепи Маркова конечно, причем $\Pi=\Phi(P)$, где $\Phi$ – некоторый полином. Первая теорема работы дает правило нахождения такого полинома.