A Note on Stepanov’s Tests for Markov Chains

Результаты настоящей работы находятся в тесной связи с результатами заметки В. Степанова [10].
Рассмотрим последовательность испытаний $\{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$ из регулярной цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода $P_1=(p_{ij})$ и $m$ возможными исходами. Пусть $f_{\mathbf u(s)}$ будет частота $s$-группы $\mathbf u(s)=(u_1,u_2,\dots,u_n)$ в последовательности испытаний и пусть
$$f_{\mathbf u(s),1}=np'_{\mathbf u_1}\prod_{i=1}^{s-1}{p_{u_i u_{i+1}}},$$
где $p'_i $ – стационарные вероятности находятся в $i$-ом состоянии. Обозначим $k_s$ число $s$-наборов $\mathbf u(s)$, совместимых с заданной $P_1$, т. е. число $\mathbf u(s)$, для которых $f_{\mathbf u(s),1}>0$, через
$$\varphi _{\mathbf u(s),1}=(f_{\mathbf u(s)} -f_{\mathbf u(s),1})(f_{u(s),1})^{-\frac12}$$
и
$$\psi_{s,1}^2=\sum_{\mathbf u(s)}\varphi_{\mathbf u(s),1}^2,$$
(где суммирование проводится по всем $k_s$ значениям $\mathbf u(s)$, для которых $f_{\mathbf u(s),1}>0$).
Тогда
а) статистики $\Delta\psi_{s,1}^2=\psi_{s,1}^2-\psi_{s-1,1}^2$, $s\ge2$, при $n\to\infty$ асимптотически распределены как $\chi^2$ с $\Delta k_s=k_s-k_{s-1}$ степенями свободы и
б) статистики $\Delta^2\psi_{s,1}^2=\psi_{s,1}-2\psi_{s-1,1}^2-\psi_{s-2,1}^2$ для $s\geq3$ асимптотически независимы и распределены как $\chi^2$ с $\Delta^2k_s=k_s-2k_{s-1}+k_{s-2}$ степенями свободы.