Exact maximal inequalities for exchangeable systems of random variables

Для конечной системы $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ перестановочных случайных величин со значениями в банаховом пространстве таких, что $\sum_1^n\xi_i=0$, доказывается эквивалентность в смысле (2) величин $\mathbf{E}\mathbf{\Phi}(\max_{k\le n}\|\xi_1+\cdots+\xi_k\|)$ и $\mathbf{E}\mathbf{\Phi}(\|\sum_1^n\xi_ir_i\|)$ для любой возрастающей выпуклой функции $\mathbf{\Phi}\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$, $\Phi(0)=0$, где $(r_1,\dots,r_n)$ – система случайных величин Радемахера, не зависящих от $(\xi_1,\dots,\xi_n)$. Устанавливается также эквивалентность хвостов соответствующих распределений. Эти результаты, по-видимому, являются новыми и для скалярных случайных величин. В качестве следствия найдены наилучшие оценки среднего для $\max_{k\le n}\|a_{\pi(1)}+\dots+a_{\pi(k)}\|$ относительно всех перестановок $\pi$ неслучайных векторов $a_1,\dots,a_n$ из нормированного пространства.