О нормальной аппроксимации $U$-статистик

Рассматриваются $U$-статистики степени $2$, построенные по независимым одинаково распределенным случайным величинам $X_1,\dots,X_n$ со значениями в измеримом пространстве $(\mathfrak{X},\mathfrak{B})$. Для $U$-статистик с невырожденным ядром и каноническими функциями $g\colon\mathfrak{X}\to\mathbb{R}$ и $h\colon\mathfrak{X}^2\to\mathbb{R}$ исследуется вопрос об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. Из полученного результата следует, что оценка порядка $n^{-1/2}$ зависит лишь от третьего момента $\mathsf{E}|g(X_1)|^3$ и слабого момента $\sup_{x>0}(x^{5/3}\mathsf{P}\{|h(X_1,X_2)|>x\})$ порядка $\frac 53$.