Statistical Metric Spaces Arising from Sets of Random Variables in Euclidean $n$-Space

Если $p,q,\dots$ – случайные векторы со значениями из евклидова пространства $E^n$, то евклидово расстояние $d(p,q)$ между $p$ и $q$ есть также случайная величина.
Пусть $F_{pq}$ – функция распределения $d(p,q)$. Тогда соответствующее статистическое метрическое пространство определяется как упорядочная пара $(s,\mathfrak{F})$, где $s$ – множество $\{p,q,\dots\}$ и $\mathfrak{F}$ – совокупность упорядоченных пар $\{((p,q),F_{pq})\}$.
В настоящей работе мы изучаем статистические метрические пространства, которые возникают, когда $p$ и $q$, суть взаимно независимые случайные величины со сферически симметричными одномодальными плотностями. Доказывается, что слабая разновидность обобщенного треугольного неравенства Менгера всегда применима в этих пространствах, а в отдельных случаях применимы более сильные разновидности. Далее изучаются моменты функций распределения $F_{pq}$. Подходящие степени этих моментов определяют новые метрики в евклидовом пространстве. Относительно каждой из этих метрик пространство в малом дискретно, но в большом евклидово (новое расстояние между $p$ и $q$, как функция евклидова расстояния между $p$ и $q$, имеет положительный минимум, и близко к евклидову расстоянию, когда последнее велико).