Martingales on Metric Spaces

Пусть $\{x_n,n=1,2,\dots\}$ – случайная последовательность со значениями в компактном метрическом пространстве $X$. Следуя Доссу, мы определяем условное математическое ожидание $x_n$ относительно борелевского поля $\mathfrak{F}$ как (случайное) множество
$$M\left\{{x_n|\mathfrak{F}}\right\}=\mathop\cup\limits_{y\in D}\left\{{z:d\left({z,y}\right)\leq{\mathbf E}\left({d\left({x_n,y}\right)|\mathfrak{F}}\right)}\right\},$$
где $d(\cdot,\cdot)$ – метрика и $D$ – счетное плотное в $X$ подмножество. Пусть $\mathfrak{F}_n$ – возрастающая последовательность борелевских полей таких, что $x_n$ $\mathfrak{F}$-измеримо. Процесс $x_n$ называется (обобщенным) мартингалом, если $x_n\in M\{x_{n+1}|\mathfrak{F}_n\}$ с вероятностью единица.
Теорема. Каждый обобщенный мартингал на компактном метрическом пространстве сходится с вероятностью единица.