Classification of Lévy processes with parabolic Kolmogorov backward equations

Процессы Леви классифицируются в соответствии с пространствами решений ассоциированных интегро-дифференциальных уравнений с частными производными: параболичность соответствующих уравнений Колмогорова переносится на условие роста символа с индексом Соболева $\alpha$. Показывается, что соответствующая эволюционная задача является параболической для пространства Соболева–Слободецкого $H^{\alpha/2}$ тогда и только тогда, когда процесс имеет индекс Соболева $\alpha$. Мы соотносим индекс Соболева с индексом Блюменталя–Гетура. Это показывает, что индекс Соболева является индикатором как гладкости распределения, так и вариации траектории процесса. Приводятся различные примеры процессов Леви с индексом Соболева и без него. В заключение мы демонстрируем влияние индекса Соболева на работу численных схем решения краевых задач, соответствующих процессам CGMY (Carr–Geman–Madan–Yor).