Тауберова теорема для производящих функций кратных последовательностей

Рассматриваются кратные последовательности $a(i) \geq 0, i \in \bf Z^n_+$. Вводится понятие односторонней слабой осцилляции таких последовательностей вдоль последовательности $(m = m(k) = (m_1(k),\ldots,m_n(k))), m_j(k)>0\forall j = 1,\ldots, n, k \in \bf N$, такой, что $m_j(k)\to\infty$ при $k\to\infty$. Из асимптотики производящей функции $A(s), s\in [0, 1)^n$, изучаемой кратной последовательности при $s = (e^{-\lambda_1/m_1},\ldots, e^{-\lambda_n/m_n})$ и $k\to\infty$ ($\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ положительны и фиксированы) выводится асимптотика для $a(x_1m_1,\ldots,x_nm_n)$ (числа $x_1,\ldots, x_n$ положительны и фиксированы). Полученная тауберова теорема обобщает несколько тауберовых теорем, доказанных автором ранее при исследовании некоторых классов случайных подстановок и случайных отображений конечного множества в себя. При этом исходным результатом в этом направлении является известная тауберова теорема Йована Караматы для производящих функций последовательностей.