|
Краткие сообщения
Maximum inequalities for rearrangements of summands and assignments of signs
S. A. Chobanyana, Sh. Leventalb, H. Salehib a Muskhelishvili Institute of Computational Mathematics
b Michigan State University, Department of Statistics and Probability
Аннотация:
В статье изучается взаимосвязь между расстановками знаков и перестановками слагаемых в форме вероятностных максимальных неравенств. Взаимосвязь основана на лемме, сводящей задачу о перестановках к задаче о выборе знаков. Наряду с упрощением известных доказательств, она позволяет находить новые факты, а также решения в более общих постановках. Одним из главных результатов статьи является следующее неравенство. Пусть $x_1,\dots , x_n$, $\sum_{k=1}^n x_k =0,$ — набор элементов нормированного пространства $X$. Тогда для любого набора знаков $\theta = (\theta_1 , \ldots, \theta_n)$ и любого $t>0$
$$
\bf P \biggl\{\pi: \max_{1\le k \le n} \biggl\Vert\sum_1^k x_{\pi(i)}\biggr\Vert > t\biggr\} \le C\mathbf P\biggl\{\pi: \max_{1\le k \le n}\biggl\Vert\sum_1^k x_{\pi (i)}\theta_i\biggr\Vert> \frac {t}{C}\biggr\},
$$
где $\pi\in \Pi_n$, $\Pi_n$ — группа всех перестановок отрезка $\{1,\dots,n\}$, $\mathbf P $ — равномерное распределение на $\Pi_n$ и $C$ — абсолютная константа. Приведенное неравенство неулучшаемо (обратное неравенство также справедливо с некоторой другой абсолютной константой). Оно обобщает известные результаты Гарсия, Морэ и Пизье, Кашина и Саакяна, Чобаняна и Салехи, и Левенталя. Все результаты настоящей статьи могут быть сформулированы на языке перестановочных случайных величин.
Ключевые слова:
перестановки слагаемых, расстановки знаков, вероятностные максимальные неравенства, перестановочные случайные величины.
Поступила в редакцию: 11.08.2011 Исправленный вариант: 30.06.2014
Образец цитирования:
S. A. Chobanyan, Sh. Levental, H. Salehi, “Maximum inequalities for rearrangements of summands and assignments of signs”, Теория вероятн. и ее примен., 59:4 (2014), 800–807; Theory Probab. Appl., 59:4 (2015), 677–684
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tvp4598https://doi.org/10.4213/tvp4598 https://www.mathnet.ru/rus/tvp/v59/i4/p800
|
|