Независимые линейные статистики на цилиндрах

Пусть либо $X=\mathbf{R}\times\mathbf{T}$, либо $X=\mathbf{\Sigma}_\mathbf{a}\times\mathbf{T}$, где $\mathbf{R}$ — группа вещественных чисел, $\mathbf{T}$ — группа вращений окружности, $\mathbf{\Sigma}_\mathbf{a}$ — $m$-адический соленоид. Пусть $\alpha_{ij}$, $i, j=1,2,3$, — топологические автоморфизмы группы $X$. Доказан следующий аналог теоремы Скитовича–Дармуа для группы $X$. Пусть $\xi_j$, $j=1, 2, 3$, — независимые случайные величины со значениями в группе $X$ и с распределениями $\mu_j$ такими, что их характеристические функции не обращаются в нуль. Если линейные статистики $L_1=\alpha_{11}\xi_1+\alpha_{12}\xi_2+\alpha_{13}\xi_3$, $L_2=\alpha_{21}\xi_1+\alpha_{22}\xi_2+\alpha_{23}\xi_3$, $L_3=\alpha_{31}\xi_1+\alpha_{32}\xi_2+\alpha_{33}\xi_3$ независимы, то все $\mu_j$ — гауссовские распределения.